Calcul infinitésimal Exemples

Trouver le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle f(x)=-2sin(x)^2 , [pi/4,2pi]
,
Étape 1
Déterminez les points critiques.
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Étape 1.1
Déterminez la dérivée première.
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Étape 1.1.1
Déterminez la dérivée première.
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Étape 1.1.1.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.1.2
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est et .
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Étape 1.1.1.2.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 1.1.1.2.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.1.1.2.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 1.1.1.3
Multipliez par .
Étape 1.1.1.4
La dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.1.5
Réorganisez les facteurs de .
Étape 1.1.2
La dérivée première de par rapport à est .
Étape 1.2
Définissez la dérivée première égale à puis résolvez l’équation .
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Étape 1.2.1
Définissez la dérivée première égale à .
Étape 1.2.2
Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à , l’expression entière sera égale à .
Étape 1.2.3
Définissez égal à et résolvez .
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Étape 1.2.3.1
Définissez égal à .
Étape 1.2.3.2
Résolvez pour .
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Étape 1.2.3.2.1
Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire de l’intérieur du cosinus.
Étape 1.2.3.2.2
Simplifiez le côté droit.
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Étape 1.2.3.2.2.1
La valeur exacte de est .
Étape 1.2.3.2.3
La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.
Étape 1.2.3.2.4
Simplifiez .
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Étape 1.2.3.2.4.1
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 1.2.3.2.4.2
Associez les fractions.
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Étape 1.2.3.2.4.2.1
Associez et .
Étape 1.2.3.2.4.2.2
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 1.2.3.2.4.3
Simplifiez le numérateur.
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Étape 1.2.3.2.4.3.1
Multipliez par .
Étape 1.2.3.2.4.3.2
Soustrayez de .
Étape 1.2.3.2.5
Déterminez la période de .
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Étape 1.2.3.2.5.1
La période de la fonction peut être calculée en utilisant .
Étape 1.2.3.2.5.2
Remplacez par dans la formule pour la période.
Étape 1.2.3.2.5.3
La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre et est .
Étape 1.2.3.2.5.4
Divisez par .
Étape 1.2.3.2.6
La période de la fonction est si bien que les valeurs se répètent tous les radians dans les deux sens.
, pour tout entier
, pour tout entier
, pour tout entier
Étape 1.2.4
Définissez égal à et résolvez .
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Étape 1.2.4.1
Définissez égal à .
Étape 1.2.4.2
Résolvez pour .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.4.2.1
Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire de l’intérieur du sinus.
Étape 1.2.4.2.2
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.4.2.2.1
La valeur exacte de est .
Étape 1.2.4.2.3
La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.
Étape 1.2.4.2.4
Soustrayez de .
Étape 1.2.4.2.5
Déterminez la période de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.4.2.5.1
La période de la fonction peut être calculée en utilisant .
Étape 1.2.4.2.5.2
Remplacez par dans la formule pour la période.
Étape 1.2.4.2.5.3
La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre et est .
Étape 1.2.4.2.5.4
Divisez par .
Étape 1.2.4.2.6
La période de la fonction est si bien que les valeurs se répètent tous les radians dans les deux sens.
, pour tout entier
, pour tout entier
, pour tout entier
Étape 1.2.5
La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent vraie.
, pour tout entier
Étape 1.2.6
Consolidez les réponses.
, pour tout entier
, pour tout entier
Étape 1.3
Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.
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Étape 1.3.1
Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.
Étape 1.4
Évaluez sur chaque valeur où la dérivée est ou indéfinie.
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Étape 1.4.1
Évaluez sur .
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Étape 1.4.1.1
Remplacez par .
Étape 1.4.1.2
Simplifiez
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Étape 1.4.1.2.1
La valeur exacte de est .
Étape 1.4.1.2.2
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 1.4.1.2.3
Multipliez par .
Étape 1.4.2
Évaluez sur .
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Étape 1.4.2.1
Remplacez par .
Étape 1.4.2.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.2.2.1
La valeur exacte de est .
Étape 1.4.2.2.2
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
Étape 1.4.2.2.3
Multipliez par .
Étape 1.4.3
Indiquez tous les points.
, pour tout entier
, pour tout entier
, pour tout entier
Étape 2
Excluez les points qui ne sont pas sur l’intervalle.
Étape 3
Évaluez sur les points finaux inclus.
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Étape 3.1
Évaluez sur .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1.1
Remplacez par .
Étape 3.1.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1.2.1
La valeur exacte de est .
Étape 3.1.2.2
Appliquez la règle de produit à .
Étape 3.1.2.3
Réécrivez comme .
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Étape 3.1.2.3.1
Utilisez pour réécrire comme .
Étape 3.1.2.3.2
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 3.1.2.3.3
Associez et .
Étape 3.1.2.3.4
Annulez le facteur commun de .
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Étape 3.1.2.3.4.1
Annulez le facteur commun.
Étape 3.1.2.3.4.2
Réécrivez l’expression.
Étape 3.1.2.3.5
Évaluez l’exposant.
Étape 3.1.2.4
Élevez à la puissance .
Étape 3.1.2.5
Annulez le facteur commun de .
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Étape 3.1.2.5.1
Factorisez à partir de .
Étape 3.1.2.5.2
Factorisez à partir de .
Étape 3.1.2.5.3
Annulez le facteur commun.
Étape 3.1.2.5.4
Réécrivez l’expression.
Étape 3.1.2.6
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1.2.6.1
Annulez le facteur commun.
Étape 3.1.2.6.2
Réécrivez l’expression.
Étape 3.1.2.7
Multipliez par .
Étape 3.2
Évaluez sur .
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Étape 3.2.1
Remplacez par .
Étape 3.2.2
Simplifiez
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Étape 3.2.2.1
Soustrayez des rotations complètes de jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à et inférieur à .
Étape 3.2.2.2
La valeur exacte de est .
Étape 3.2.2.3
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 3.2.2.4
Multipliez par .
Étape 3.3
Indiquez tous les points.
Étape 4
Comparez les valeurs trouvées pour chaque valeur de afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur la plus haute et le minimum intervient sur la valeur la plus basse.
Maximum absolu :
Minimum absolu :
Étape 5