Calcul infinitésimal Exemples

Trouver le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle g(x)=e^(-x^4) , -2<=x<=1
,
Étape 1
Déterminez les points critiques.
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Étape 1.1
Déterminez la dérivée première.
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Étape 1.1.1
Déterminez la dérivée première.
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Étape 1.1.1.1
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est et .
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Étape 1.1.1.1.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 1.1.1.1.2
Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que est =.
Étape 1.1.1.1.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 1.1.1.2
Différenciez.
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Étape 1.1.1.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.1.2.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.1.1.2.3
Multipliez par .
Étape 1.1.1.3
Simplifiez
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Étape 1.1.1.3.1
Réorganisez les facteurs de .
Étape 1.1.1.3.2
Remettez les facteurs dans l’ordre dans .
Étape 1.1.2
La dérivée première de par rapport à est .
Étape 1.2
Définissez la dérivée première égale à puis résolvez l’équation .
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Étape 1.2.1
Définissez la dérivée première égale à .
Étape 1.2.2
Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à , l’expression entière sera égale à .
Étape 1.2.3
Définissez égal à et résolvez .
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Étape 1.2.3.1
Définissez égal à .
Étape 1.2.3.2
Résolvez pour .
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Étape 1.2.3.2.1
Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.
Étape 1.2.3.2.2
Simplifiez .
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Étape 1.2.3.2.2.1
Réécrivez comme .
Étape 1.2.3.2.2.2
Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.
Étape 1.2.4
Définissez égal à et résolvez .
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Étape 1.2.4.1
Définissez égal à .
Étape 1.2.4.2
Résolvez pour .
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Étape 1.2.4.2.1
Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.
Étape 1.2.4.2.2
L’équation ne peut pas être résolue car est indéfini.
Indéfini
Étape 1.2.4.2.3
Il n’y a pas de solution pour
Aucune solution
Aucune solution
Aucune solution
Étape 1.2.5
La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent vraie.
Étape 1.3
Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.
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Étape 1.3.1
Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.
Étape 1.4
Évaluez sur chaque valeur où la dérivée est ou indéfinie.
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Étape 1.4.1
Évaluez sur .
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Étape 1.4.1.1
Remplacez par .
Étape 1.4.1.2
Simplifiez
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Étape 1.4.1.2.1
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 1.4.1.2.2
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.3
Tout ce qui est élevé à la puissance est .
Étape 1.4.2
Indiquez tous les points.
Étape 2
Évaluez sur les points finaux inclus.
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Étape 2.1
Évaluez sur .
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Étape 2.1.1
Remplacez par .
Étape 2.1.2
Simplifiez
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Étape 2.1.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 2.1.2.2
Multipliez par .
Étape 2.1.2.3
Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif .
Étape 2.2
Évaluez sur .
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Étape 2.2.1
Remplacez par .
Étape 2.2.2
Simplifiez
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Étape 2.2.2.1
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
Étape 2.2.2.2
Multipliez par .
Étape 2.2.2.3
Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif .
Étape 2.3
Indiquez tous les points.
Étape 3
Comparez les valeurs trouvées pour chaque valeur de afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur la plus haute et le minimum intervient sur la valeur la plus basse.
Maximum absolu :
Minimum absolu :
Étape 4