Calcul infinitésimal Exemples

Trouver le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle f(x)=( logarithme népérien de x)/x
Étape 1
Déterminez la dérivée première de la fonction.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1
Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que est et .
Étape 1.2
La dérivée de par rapport à est .
Étape 1.3
Différenciez en utilisant la règle de puissance.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.1
Associez et .
Étape 1.3.2
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.2.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.3.2.2
Réécrivez l’expression.
Étape 1.3.3
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.3.4
Multipliez par .
Étape 2
Déterminez la dérivée seconde de la fonction.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1
Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que est et .
Étape 2.2
Différenciez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.1
Multipliez les exposants dans .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.1.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 2.2.1.2
Multipliez par .
Étape 2.2.2
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.2.3
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.2.4
Additionnez et .
Étape 2.2.5
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.3
La dérivée de par rapport à est .
Étape 2.4
Différenciez en utilisant la règle de puissance.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.4.1
Associez et .
Étape 2.4.2
Annulez le facteur commun à et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.4.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 2.4.2.2
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.4.2.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 2.4.2.2.2
Factorisez à partir de .
Étape 2.4.2.2.3
Annulez le facteur commun.
Étape 2.4.2.2.4
Réécrivez l’expression.
Étape 2.4.2.2.5
Divisez par .
Étape 2.4.3
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 2.4.4
Simplifiez en factorisant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.4.4.1
Multipliez par .
Étape 2.4.4.2
Factorisez à partir de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.4.4.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 2.4.4.2.2
Factorisez à partir de .
Étape 2.4.4.2.3
Factorisez à partir de .
Étape 2.5
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.5.1
Factorisez à partir de .
Étape 2.5.2
Annulez le facteur commun.
Étape 2.5.3
Réécrivez l’expression.
Étape 2.6
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.6.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.6.2
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.6.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.6.2.1.1
Multipliez par .
Étape 2.6.2.1.2
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.6.2.1.2.1
Multipliez par .
Étape 2.6.2.1.2.2
Simplifiez en déplaçant dans le logarithme.
Étape 2.6.2.2
Soustrayez de .
Étape 2.6.3
Réécrivez comme .
Étape 2.6.4
Factorisez à partir de .
Étape 2.6.5
Factorisez à partir de .
Étape 2.6.6
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 3
Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à et résolvez.
Étape 4
Déterminez la dérivée première.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1
Déterminez la dérivée première.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.1
Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que est et .
Étape 4.1.2
La dérivée de par rapport à est .
Étape 4.1.3
Différenciez en utilisant la règle de puissance.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.3.1
Associez et .
Étape 4.1.3.2
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.3.2.1
Annulez le facteur commun.
Étape 4.1.3.2.2
Réécrivez l’expression.
Étape 4.1.3.3
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 4.1.3.4
Multipliez par .
Étape 4.2
La dérivée première de par rapport à est .
Étape 5
Définissez la dérivée première égale à puis résolvez l’équation .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.1
Définissez la dérivée première égale à .
Étape 5.2
Définissez le numérateur égal à zéro.
Étape 5.3
Résolvez l’équation pour .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.1
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 5.3.2
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.2.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 5.3.2.2
Simplifiez le côté gauche.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.2.2.1
La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.
Étape 5.3.2.2.2
Divisez par .
Étape 5.3.2.3
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.2.3.1
Divisez par .
Étape 5.3.3
Pour résoudre , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.
Étape 5.3.4
Réécrivez en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si et sont des nombres réels positifs et , alors est équivalent à .
Étape 5.3.5
Réécrivez l’équation comme .
Étape 6
Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.1
Définissez le dénominateur dans égal à pour déterminer où l’expression est indéfinie.
Étape 6.2
Résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.1
Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.
Étape 6.2.2
Simplifiez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.2.1
Réécrivez comme .
Étape 6.2.2.2
Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.
Étape 6.2.2.3
Plus ou moins est .
Étape 6.3
Définissez l’argument dans inférieur ou égal à pour déterminer où l’expression est indéfinie.
Étape 6.4
L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à , l’argument d’une racine carrée est inférieur à ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à .
Étape 7
Points critiques à évaluer.
Étape 8
Évaluez la dérivée seconde sur . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.
Étape 9
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 9.1
Utilisez les règles des logarithmes pour retirer de l’exposant.
Étape 9.2
Le logarithme naturel de est .
Étape 9.3
Multipliez par .
Étape 9.4
Multipliez par .
Étape 9.5
Soustrayez de .
Étape 10
est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.
est un maximum local
Étape 11
Déterminez la valeur y quand .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 11.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 11.2
Simplifiez le résultat.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 11.2.1
Le logarithme naturel de est .
Étape 11.2.2
La réponse finale est .
Étape 12
Ce sont les extrema locaux pour .
est un maximum local
Étape 13