Calcul infinitésimal Exemples

Trouver le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle h(x)=x^3e^(-x)
Étape 1
Déterminez la dérivée première de la fonction.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1
Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que est et .
Étape 1.2
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 1.2.2
Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que est =.
Étape 1.2.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 1.3
Différenciez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.3.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.3.3
Simplifiez l’expression.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.3.1
Multipliez par .
Étape 1.3.3.2
Déplacez à gauche de .
Étape 1.3.3.3
Réécrivez comme .
Étape 1.3.4
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.4
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1
Remettez les termes dans l’ordre.
Étape 1.4.2
Remettez les facteurs dans l’ordre dans .
Étape 2
Déterminez la dérivée seconde de la fonction.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.2
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.2.2
Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que est et .
Étape 2.2.3
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.3.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 2.2.3.2
Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que est =.
Étape 2.2.3.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 2.2.4
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.2.5
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 2.2.6
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 2.2.7
Multipliez par .
Étape 2.2.8
Déplacez à gauche de .
Étape 2.2.9
Réécrivez comme .
Étape 2.3
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.3.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.3.2
Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que est et .
Étape 2.3.3
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.3.3.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 2.3.3.2
Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que est =.
Étape 2.3.3.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 2.3.4
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.3.5
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 2.3.6
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 2.3.7
Multipliez par .
Étape 2.3.8
Déplacez à gauche de .
Étape 2.3.9
Réécrivez comme .
Étape 2.4
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.4.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.4.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.4.3
Associez des termes.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.4.3.1
Multipliez par .
Étape 2.4.3.2
Multipliez par .
Étape 2.4.3.3
Multipliez par .
Étape 2.4.3.4
Multipliez par .
Étape 2.4.3.5
Multipliez par .
Étape 2.4.3.6
Soustrayez de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.4.3.6.1
Déplacez .
Étape 2.4.3.6.2
Soustrayez de .
Étape 2.4.4
Remettez les termes dans l’ordre.
Étape 2.4.5
Remettez les facteurs dans l’ordre dans .
Étape 3
Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à et résolvez.
Étape 4
Déterminez la dérivée première.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1
Déterminez la dérivée première.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.1
Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que est et .
Étape 4.1.2
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.2.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 4.1.2.2
Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que est =.
Étape 4.1.2.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 4.1.3
Différenciez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.3.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.1.3.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 4.1.3.3
Simplifiez l’expression.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.3.3.1
Multipliez par .
Étape 4.1.3.3.2
Déplacez à gauche de .
Étape 4.1.3.3.3
Réécrivez comme .
Étape 4.1.3.4
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 4.1.4
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.4.1
Remettez les termes dans l’ordre.
Étape 4.1.4.2
Remettez les facteurs dans l’ordre dans .
Étape 4.2
La dérivée première de par rapport à est .
Étape 5
Définissez la dérivée première égale à puis résolvez l’équation .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.1
Définissez la dérivée première égale à .
Étape 5.2
Factorisez à partir de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 5.2.2
Factorisez à partir de .
Étape 5.2.3
Factorisez à partir de .
Étape 5.3
Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à , l’expression entière sera égale à .
Étape 5.4
Définissez égal à et résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.4.1
Définissez égal à .
Étape 5.4.2
Résolvez pour .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.4.2.1
Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.
Étape 5.4.2.2
Simplifiez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.4.2.2.1
Réécrivez comme .
Étape 5.4.2.2.2
Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.
Étape 5.4.2.2.3
Plus ou moins est .
Étape 5.5
Définissez égal à et résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.5.1
Définissez égal à .
Étape 5.5.2
Résolvez pour .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.5.2.1
Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.
Étape 5.5.2.2
L’équation ne peut pas être résolue car est indéfini.
Indéfini
Étape 5.5.2.3
Il n’y a pas de solution pour
Aucune solution
Aucune solution
Aucune solution
Étape 5.6
Définissez égal à et résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.6.1
Définissez égal à .
Étape 5.6.2
Résolvez pour .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.6.2.1
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 5.6.2.2
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.6.2.2.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 5.6.2.2.2
Simplifiez le côté gauche.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.6.2.2.2.1
La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.
Étape 5.6.2.2.2.2
Divisez par .
Étape 5.6.2.2.3
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.6.2.2.3.1
Divisez par .
Étape 5.7
La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent vraie.
Étape 6
Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.1
Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.
Étape 7
Points critiques à évaluer.
Étape 8
Évaluez la dérivée seconde sur . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.
Étape 9
Évaluez la dérivée seconde.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 9.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 9.1.1
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 9.1.2
Multipliez par .
Étape 9.1.3
Tout ce qui est élevé à la puissance est .
Étape 9.1.4
Multipliez par .
Étape 9.1.5
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 9.1.6
Multipliez par .
Étape 9.1.7
Multipliez par .
Étape 9.1.8
Tout ce qui est élevé à la puissance est .
Étape 9.1.9
Multipliez par .
Étape 9.1.10
Multipliez par .
Étape 9.1.11
Multipliez par .
Étape 9.1.12
Tout ce qui est élevé à la puissance est .
Étape 9.1.13
Multipliez par .
Étape 9.2
Simplifiez en ajoutant des nombres.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 9.2.1
Additionnez et .
Étape 9.2.2
Additionnez et .
Étape 10
Comme il y a au moins un point avec ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 10.1
Divisez en intervalles distincts autour des valeurs qui rendent la dérivée première ou indéfinie.
Étape 10.2
Remplacez tout nombre, tel que , de l’intervalle dans la dérivée première pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 10.2.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 10.2.2
Simplifiez le résultat.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 10.2.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 10.2.2.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 10.2.2.1.2
Multipliez par .
Étape 10.2.2.1.3
Multipliez par .
Étape 10.2.2.1.4
Élevez à la puissance .
Étape 10.2.2.1.5
Multipliez par .
Étape 10.2.2.1.6
Multipliez par .
Étape 10.2.2.2
Additionnez et .
Étape 10.2.2.3
La réponse finale est .
Étape 10.3
Remplacez tout nombre, tel que , de l’intervalle dans la dérivée première pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 10.3.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 10.3.2
Simplifiez le résultat.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 10.3.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 10.3.2.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 10.3.2.1.2
Multipliez par .
Étape 10.3.2.1.3
Multipliez par .
Étape 10.3.2.1.4
Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif .
Étape 10.3.2.1.5
Associez et .
Étape 10.3.2.1.6
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 10.3.2.1.7
Élevez à la puissance .
Étape 10.3.2.1.8
Multipliez par .
Étape 10.3.2.1.9
Multipliez par .
Étape 10.3.2.1.10
Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif .
Étape 10.3.2.1.11
Associez et .
Étape 10.3.2.2
Associez les fractions.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 10.3.2.2.1
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 10.3.2.2.2
Additionnez et .
Étape 10.3.2.3
La réponse finale est .
Étape 10.4
Remplacez tout nombre, tel que , de l’intervalle dans la dérivée première pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 10.4.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 10.4.2
Simplifiez le résultat.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 10.4.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 10.4.2.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 10.4.2.1.2
Multipliez par .
Étape 10.4.2.1.3
Multipliez par .
Étape 10.4.2.1.4
Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif .
Étape 10.4.2.1.5
Associez et .
Étape 10.4.2.1.6
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 10.4.2.1.7
Élevez à la puissance .
Étape 10.4.2.1.8
Multipliez par .
Étape 10.4.2.1.9
Multipliez par .
Étape 10.4.2.1.10
Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif .
Étape 10.4.2.1.11
Associez et .
Étape 10.4.2.2
Associez les fractions.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 10.4.2.2.1
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 10.4.2.2.2
Simplifiez l’expression.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 10.4.2.2.2.1
Additionnez et .
Étape 10.4.2.2.2.2
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 10.4.2.3
La réponse finale est .
Étape 10.5
Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.
Pas un maximum ni un minimum local
Étape 10.6
Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de , est un maximum local.
est un maximum local
est un maximum local
Étape 11