Calcul infinitésimal Exemples

Trouver le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle y=sin(x)cos(x) , 0<=x<=pi
,
Étape 1
Déterminez les points critiques.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1
Déterminez la dérivée première.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1
Déterminez la dérivée première.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1.1
Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que est et .
Étape 1.1.1.2
La dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.1.3
Élevez à la puissance .
Étape 1.1.1.4
Élevez à la puissance .
Étape 1.1.1.5
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 1.1.1.6
Additionnez et .
Étape 1.1.1.7
La dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.1.8
Élevez à la puissance .
Étape 1.1.1.9
Élevez à la puissance .
Étape 1.1.1.10
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 1.1.1.11
Additionnez et .
Étape 1.1.1.12
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1.12.1
Remettez dans l’ordre et .
Étape 1.1.1.12.2
Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, et .
Étape 1.1.1.12.3
Développez à l’aide de la méthode FOIL.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1.12.3.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.1.1.12.3.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.1.1.12.3.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.1.1.12.4
Associez les termes opposés dans .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1.12.4.1
Réorganisez les facteurs dans les termes et .
Étape 1.1.1.12.4.2
Additionnez et .
Étape 1.1.1.12.4.3
Additionnez et .
Étape 1.1.1.12.5
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1.12.5.1
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1.12.5.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 1.1.1.12.5.1.2
Élevez à la puissance .
Étape 1.1.1.12.5.1.3
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 1.1.1.12.5.1.4
Additionnez et .
Étape 1.1.1.12.5.2
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 1.1.1.12.5.3
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1.12.5.3.1
Élevez à la puissance .
Étape 1.1.1.12.5.3.2
Élevez à la puissance .
Étape 1.1.1.12.5.3.3
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 1.1.1.12.5.3.4
Additionnez et .
Étape 1.1.1.12.6
Appliquez l’identité d’angle double du cosinus.
Étape 1.1.2
La dérivée première de par rapport à est .
Étape 1.2
Définissez la dérivée première égale à puis résolvez l’équation .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.1
Définissez la dérivée première égale à .
Étape 1.2.2
Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire de l’intérieur du cosinus.
Étape 1.2.3
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.3.1
La valeur exacte de est .
Étape 1.2.4
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.4.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 1.2.4.2
Simplifiez le côté gauche.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.4.2.1
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.4.2.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.2.4.2.1.2
Divisez par .
Étape 1.2.4.3
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.4.3.1
Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.
Étape 1.2.4.3.2
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.4.3.2.1
Multipliez par .
Étape 1.2.4.3.2.2
Multipliez par .
Étape 1.2.5
La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.
Étape 1.2.6
Résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.6.1
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.6.1.1
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 1.2.6.1.2
Associez et .
Étape 1.2.6.1.3
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 1.2.6.1.4
Multipliez par .
Étape 1.2.6.1.5
Soustrayez de .
Étape 1.2.6.2
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.6.2.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 1.2.6.2.2
Simplifiez le côté gauche.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.6.2.2.1
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.6.2.2.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.2.6.2.2.1.2
Divisez par .
Étape 1.2.6.2.3
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.6.2.3.1
Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.
Étape 1.2.6.2.3.2
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.6.2.3.2.1
Multipliez par .
Étape 1.2.6.2.3.2.2
Multipliez par .
Étape 1.2.7
Déterminez la période de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.7.1
La période de la fonction peut être calculée en utilisant .
Étape 1.2.7.2
Remplacez par dans la formule pour la période.
Étape 1.2.7.3
La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre et est .
Étape 1.2.7.4
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.7.4.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.2.7.4.2
Divisez par .
Étape 1.2.8
La période de la fonction est si bien que les valeurs se répètent tous les radians dans les deux sens.
, pour tout entier
Étape 1.2.9
Consolidez les réponses.
, pour tout entier
, pour tout entier
Étape 1.3
Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.1
Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.
Étape 1.4
Évaluez sur chaque valeur où la dérivée est ou indéfinie.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1
Évaluez sur .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.1
Remplacez par .
Étape 1.4.1.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.2.1
La valeur exacte de est .
Étape 1.4.1.2.2
La valeur exacte de est .
Étape 1.4.1.2.3
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.2.3.1
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.3.2
Élevez à la puissance .
Étape 1.4.1.2.3.3
Élevez à la puissance .
Étape 1.4.1.2.3.4
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 1.4.1.2.3.5
Additionnez et .
Étape 1.4.1.2.3.6
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.4
Réécrivez comme .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.2.4.1
Utilisez pour réécrire comme .
Étape 1.4.1.2.4.2
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 1.4.1.2.4.3
Associez et .
Étape 1.4.1.2.4.4
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.2.4.4.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.4.1.2.4.4.2
Réécrivez l’expression.
Étape 1.4.1.2.4.5
Évaluez l’exposant.
Étape 1.4.1.2.5
Annulez le facteur commun à et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.2.5.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.4.1.2.5.2
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.2.5.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.4.1.2.5.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 1.4.1.2.5.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 1.4.2
Évaluez sur .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.2.1
Remplacez par .
Étape 1.4.2.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.2.2.1
Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.
Étape 1.4.2.2.2
La valeur exacte de est .
Étape 1.4.2.2.3
Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.
Étape 1.4.2.2.4
La valeur exacte de est .
Étape 1.4.2.2.5
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.2.2.5.1
Multipliez par .
Étape 1.4.2.2.5.2
Élevez à la puissance .
Étape 1.4.2.2.5.3
Élevez à la puissance .
Étape 1.4.2.2.5.4
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 1.4.2.2.5.5
Additionnez et .
Étape 1.4.2.2.5.6
Multipliez par .
Étape 1.4.2.2.6
Réécrivez comme .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.2.2.6.1
Utilisez pour réécrire comme .
Étape 1.4.2.2.6.2
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 1.4.2.2.6.3
Associez et .
Étape 1.4.2.2.6.4
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.2.2.6.4.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.4.2.2.6.4.2
Réécrivez l’expression.
Étape 1.4.2.2.6.5
Évaluez l’exposant.
Étape 1.4.2.2.7
Annulez le facteur commun à et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.2.2.7.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.4.2.2.7.2
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.2.2.7.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.4.2.2.7.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 1.4.2.2.7.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 1.4.3
Indiquez tous les points.
, pour tout entier
, pour tout entier
, pour tout entier
Étape 2
Excluez les points qui ne sont pas sur l’intervalle.
Étape 3
Évaluez sur les points finaux inclus.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1
Évaluez sur .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1.1
Remplacez par .
Étape 3.1.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1.2.1
La valeur exacte de est .
Étape 3.1.2.2
La valeur exacte de est .
Étape 3.1.2.3
Multipliez par .
Étape 3.2
Évaluez sur .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.2.1
Remplacez par .
Étape 3.2.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.2.2.1
Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.
Étape 3.2.2.2
La valeur exacte de est .
Étape 3.2.2.3
Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.
Étape 3.2.2.4
La valeur exacte de est .
Étape 3.2.2.5
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.2.2.5.1
Multipliez par .
Étape 3.2.2.5.2
Multipliez par .
Étape 3.3
Indiquez tous les points.
Étape 4
Comparez les valeurs trouvées pour chaque valeur de afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur la plus haute et le minimum intervient sur la valeur la plus basse.
Maximum absolu :
Minimum absolu :
Étape 5