Calcul infinitésimal Exemples

Trouver le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle f(x) = cube root of x+4 ; [-4,4]
;
Étape 1
Déterminez les points critiques.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1
Déterminez la dérivée première.
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Étape 1.1.1
Déterminez la dérivée première.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1.1
Utilisez pour réécrire comme .
Étape 1.1.1.2
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1.2.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 1.1.1.2.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.1.1.2.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 1.1.1.3
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 1.1.1.4
Associez et .
Étape 1.1.1.5
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 1.1.1.6
Simplifiez le numérateur.
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Étape 1.1.1.6.1
Multipliez par .
Étape 1.1.1.6.2
Soustrayez de .
Étape 1.1.1.7
Associez les fractions.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1.7.1
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 1.1.1.7.2
Associez et .
Étape 1.1.1.7.3
Placez sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif .
Étape 1.1.1.8
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.1.9
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.1.1.10
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.1.11
Simplifiez l’expression.
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Étape 1.1.1.11.1
Additionnez et .
Étape 1.1.1.11.2
Multipliez par .
Étape 1.1.2
La dérivée première de par rapport à est .
Étape 1.2
Définissez la dérivée première égale à puis résolvez l’équation .
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Étape 1.2.1
Définissez la dérivée première égale à .
Étape 1.2.2
Définissez le numérateur égal à zéro.
Étape 1.2.3
Comme , il n’y a aucune solution.
Aucune solution
Aucune solution
Étape 1.3
Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.
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Étape 1.3.1
Appliquez la règle pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.
Étape 1.3.2
Définissez le dénominateur dans égal à pour déterminer où l’expression est indéfinie.
Étape 1.3.3
Résolvez .
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Étape 1.3.3.1
Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.
Étape 1.3.3.2
Simplifiez chaque côté de l’équation.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.3.2.1
Utilisez pour réécrire comme .
Étape 1.3.3.2.2
Simplifiez le côté gauche.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.3.2.2.1
Simplifiez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.3.2.2.1.1
Appliquez la règle de produit à .
Étape 1.3.3.2.2.1.2
Élevez à la puissance .
Étape 1.3.3.2.2.1.3
Multipliez les exposants dans .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.3.2.2.1.3.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 1.3.3.2.2.1.3.2
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.3.2.2.1.3.2.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.3.3.2.2.1.3.2.2
Réécrivez l’expression.
Étape 1.3.3.2.3
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.3.2.3.1
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 1.3.3.3
Résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.3.3.1
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
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Étape 1.3.3.3.1.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 1.3.3.3.1.2
Simplifiez le côté gauche.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.3.3.1.2.1
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.3.3.1.2.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.3.3.3.1.2.1.2
Divisez par .
Étape 1.3.3.3.1.3
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.3.3.1.3.1
Divisez par .
Étape 1.3.3.3.2
Définissez le égal à .
Étape 1.3.3.3.3
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 1.4
Évaluez sur chaque valeur où la dérivée est ou indéfinie.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1
Évaluez sur .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.1
Remplacez par .
Étape 1.4.1.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.2.1
Additionnez et .
Étape 1.4.1.2.2
Réécrivez comme .
Étape 1.4.1.2.3
Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.
Étape 1.4.2
Indiquez tous les points.
Étape 2
Évaluez sur les points finaux inclus.
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Étape 2.1
Évaluez sur .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.1
Remplacez par .
Étape 2.1.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.1
Additionnez et .
Étape 2.1.2.2
Réécrivez comme .
Étape 2.1.2.3
Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.
Étape 2.2
Évaluez sur .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.1
Remplacez par .
Étape 2.2.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.2.1
Additionnez et .
Étape 2.2.2.2
Réécrivez comme .
Étape 2.2.2.3
Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.
Étape 2.3
Indiquez tous les points.
Étape 3
Comparez les valeurs trouvées pour chaque valeur de afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur la plus haute et le minimum intervient sur la valeur la plus basse.
Maximum absolu :
Minimum absolu :
Étape 4