Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = | x | + 2 | 1 - x |$ , $[- 2, 2]$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $| x | + 2 | 1 - x |$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [| x |] + \frac{d}{d x} [2 | 1 - x |]$ .

$\frac{d}{d x} [| x |] + \frac{d}{d x} [2 | 1 - x |]$

Étape 1.1.1.2

La dérivée de $| x |$ par rapport à $x$ est $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{x}{| x |} + \frac{d}{d x} [2 | 1 - x |]$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 | 1 - x |]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 | 1 - x |$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [| 1 - x |]$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 \frac{d}{d x} [| 1 - x |]$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = | x |$ et $g (x) = 1 - x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 - x$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [1 - x])$

Étape 1.1.1.3.2.2

La dérivée de $| u |$ par rapport à $u$ est $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [1 - x])$

Étape 1.1.1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - x$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{1 - x}{| 1 - x |} \frac{d}{d x} [1 - x])$

Étape 1.1.1.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{1 - x}{| 1 - x |} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]))$

Étape 1.1.1.3.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{1 - x}{| 1 - x |} (0 + \frac{d}{d x} [- x]))$

Étape 1.1.1.3.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{1 - x}{| 1 - x |} (0 - \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 1.1.1.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{1 - x}{| 1 - x |} (0 - 1 \cdot 1))$

Étape 1.1.1.3.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{1 - x}{| 1 - x |} (0 - 1))$

Étape 1.1.1.3.8

Soustrayez $1$ de $0$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{1 - x}{| 1 - x |} \cdot - 1)$

Étape 1.1.1.3.9

Associez $\frac{1 - x}{| 1 - x |}$ et $- 1$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 \frac{(1 - x) \cdot - 1}{| 1 - x |}$

Étape 1.1.1.3.10

Déplacez $- 1$ à gauche de $1 - x$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 \frac{- 1 \cdot (1 - x)}{| 1 - x |}$

Étape 1.1.1.3.11

Réécrivez $- 1 (1 - x)$ comme $- (1 - x)$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 \frac{- (1 - x)}{| 1 - x |}$

Étape 1.1.1.3.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{x}{| x |} + 2 (- \frac{1 - x}{| 1 - x |})$

Étape 1.1.1.3.13

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{x}{| x |} - 2 \frac{1 - x}{| 1 - x |}$

Étape 1.1.1.3.14

Associez $- 2$ et $\frac{1 - x}{| 1 - x |}$ .

$\frac{x}{| x |} + \frac{- 2 (1 - x)}{| 1 - x |}$

Étape 1.1.1.3.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = \frac{x}{| x |} - \frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |}$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{x}{| x |} - \frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |}$ .

$\frac{x}{| x |} - \frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{x}{| x |} - \frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{x}{| x |} - \frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |} = 0$

Étape 1.2.2

Soustrayez $\frac{x}{| x |}$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |} = - \frac{x}{| x |}$

Étape 1.2.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$| 1 - x |, | x |$

Étape 1.2.3.2

Comme $| 1 - x |, | x |$ contient des nombres et des variables, deux étapes sont nécessaires pour déterminer le plus petit multiple commun. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie numérique $1, 1$ puis déterminez le plus petit multiple commun pour la partie variable ${| 1 - x |}^{1}, {| x |}^{1}$ .

Étape 1.2.3.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 1.2.3.4

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 1.2.3.5

Le plus petit multiple commun de $1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$1$

Étape 1.2.3.6

Le facteur pour ${| 1 - x |}^{1}$ est $| 1 - x |$ lui-même.

${| 1 - x |}^{1} = | 1 - x |$

$| 1 - x |$ se produit $1$ fois.

Étape 1.2.3.7

Le facteur pour ${| x |}^{1}$ est $| x |$ lui-même.

${| x |}^{1} = | x |$

$| x |$ se produit $1$ fois.

Étape 1.2.3.8

Le plus petit multiple commun de ${| 1 - x |}^{1}, {| x |}^{1}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$| 1 - x | | x |$

Étape 1.2.4

Multiplier chaque terme dans $- \frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |} = - \frac{x}{| x |}$ par $| 1 - x | | x |$ afin d’éliminer les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |} = - \frac{x}{| x |}$ par $| 1 - x | | x |$ .

$- \frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |} (| 1 - x | | x |) = - \frac{x}{| x |} (| 1 - x | | x |)$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $| 1 - x |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |}$ dans le numérateur.

$\frac{- 2 (1 - x)}{| 1 - x |} (| 1 - x | | x |) = - \frac{x}{| x |} (| 1 - x | | x |)$

Étape 1.2.4.2.1.2

Factorisez $| 1 - x |$ à partir de $| 1 - x | | x |$ .

$\frac{- 2 (1 - x)}{| 1 - x |} (| 1 - x | | x |) = - \frac{x}{| x |} (| 1 - x | | x |)$

Étape 1.2.4.2.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 (1 - x)}{| 1 - x |} (| 1 - x | | x |) = - \frac{x}{| x |} (| 1 - x | | x |)$

Étape 1.2.4.2.1.4

Réécrivez l’expression.

$- 2 (1 - x) | x | = - \frac{x}{| x |} (| 1 - x | | x |)$

Étape 1.2.4.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$(- 2 \cdot 1 - 2 (- x)) | x | = - \frac{x}{| x |} (| 1 - x | | x |)$

Étape 1.2.4.2.3

Multipliez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.3.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$(- 2 - 2 (- x)) | x | = - \frac{x}{| x |} (| 1 - x | | x |)$

Étape 1.2.4.2.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$(- 2 + 2 x) | x | = - \frac{x}{| x |} (| 1 - x | | x |)$

Étape 1.2.4.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 | x | + 2 x | x | = - \frac{x}{| x |} (| 1 - x | | x |)$

Étape 1.2.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.3.1

Annulez le facteur commun de $| x |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.3.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x}{| x |}$ dans le numérateur.

$- 2 | x | + 2 x | x | = \frac{- x}{| x |} (| 1 - x | | x |)$

Étape 1.2.4.3.1.2

Factorisez $| x |$ à partir de $| 1 - x | | x |$ .

$- 2 | x | + 2 x | x | = \frac{- x}{| x |} (| x | | 1 - x |)$

Étape 1.2.4.3.1.3

Annulez le facteur commun.

$- 2 | x | + 2 x | x | = \frac{- x}{| x |} (| x | | 1 - x |)$

Étape 1.2.4.3.1.4

Réécrivez l’expression.

$- 2 | x | + 2 x | x | = - x | 1 - x |$

Étape 1.2.5

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.1

Réécrivez l’équation comme $- x | 1 - x | = - 2 | x | + 2 x | x |$ .

$- x | 1 - x | = - 2 | x | + 2 x | x |$

Étape 1.2.5.2

Divisez chaque terme dans $- x | 1 - x | = - 2 | x | + 2 x | x |$ par $- x$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.2.1

Divisez chaque terme dans $- x | 1 - x | = - 2 | x | + 2 x | x |$ par $- x$ .

$\frac{- x | 1 - x |}{- x} = \frac{- 2 | x |}{- x} + \frac{2 x | x |}{- x}$

Étape 1.2.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x | 1 - x |}{x} = \frac{- 2 | x |}{- x} + \frac{2 x | x |}{- x}$

Étape 1.2.5.2.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x | 1 - x |}{x} = \frac{- 2 | x |}{- x} + \frac{2 x | x |}{- x}$

Étape 1.2.5.2.2.2.2

Divisez $| 1 - x |$ par $1$ .

$| 1 - x | = \frac{- 2 | x |}{- x} + \frac{2 x | x |}{- x}$

Étape 1.2.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.2.3.1.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$| 1 - x | = \frac{2 | x |}{x} + \frac{2 x | x |}{- x}$

Étape 1.2.5.2.3.1.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.2.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$| 1 - x | = \frac{2 | x |}{x} + \frac{2 x | x |}{- x}$

Étape 1.2.5.2.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$| 1 - x | = \frac{2 | x |}{x} + \frac{2 | x |}{- 1}$

Étape 1.2.5.2.3.1.2.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{2 | x |}{- 1}$ .

$| 1 - x | = \frac{2 | x |}{x} - 1 \cdot (2 | x |)$

Étape 1.2.5.2.3.1.3

Réécrivez $- 1 \cdot (2 | x |)$ comme $- (2 | x |)$ .

$| 1 - x | = \frac{2 | x |}{x} - (2 | x |)$

Étape 1.2.5.2.3.1.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$| 1 - x | = \frac{2 | x |}{x} - 2 | x |$

Étape 1.2.6

Résolvez $| x |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.6.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{2 | x |}{x} - 2 | x | = | 1 - x |$ .

$\frac{2 | x |}{x} - 2 | x | = | 1 - x |$

Étape 1.2.6.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.6.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x, 1, 1$

Étape 1.2.6.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x$

Étape 1.2.6.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{2 | x |}{x} - 2 | x | = | 1 - x |$ par $x$ afin d’éliminer les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.6.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{2 | x |}{x} - 2 | x | = | 1 - x |$ par $x$ .

$\frac{2 | x |}{x} x - 2 | x | x = | 1 - x | x$

Étape 1.2.6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.6.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.6.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 | x |}{x} x - 2 | x | x = | 1 - x | x$

Étape 1.2.6.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$2 | x | - 2 | x | x = | 1 - x | x$

Étape 1.2.6.4

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.6.4.1

Factorisez $2 | x |$ à partir de $2 | x | - 2 | x | x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.6.4.1.1

Factorisez $2 | x |$ à partir de $2 | x |$ .

$2 | x | \cdot 1 - 2 | x | x = | 1 - x | x$

Étape 1.2.6.4.1.2

Factorisez $2 | x |$ à partir de $- 2 | x | x$ .

$2 | x | \cdot 1 + 2 | x | (- 1 x) = | 1 - x | x$

Étape 1.2.6.4.1.3

Factorisez $2 | x |$ à partir de $2 | x | \cdot 1 + 2 | x | (- 1 x)$ .

$2 | x | (1 - 1 x) = | 1 - x | x$

Étape 1.2.6.4.2

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$2 | x | (1 - x) = | 1 - x | x$

Étape 1.2.6.4.3

Divisez chaque terme dans $2 | x | (1 - x) = | 1 - x | x$ par $2 (1 - x)$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.6.4.3.1

Divisez chaque terme dans $2 | x | (1 - x) = | 1 - x | x$ par $2 (1 - x)$ .

$\frac{2 | x | (1 - x)}{2 (1 - x)} = \frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)}$

Étape 1.2.6.4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.6.4.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.6.4.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 | x | (1 - x)}{2 (1 - x)} = \frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)}$

Étape 1.2.6.4.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{| x | (1 - x)}{1 - x} = \frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)}$

Étape 1.2.6.4.3.2.2

Annulez le facteur commun de $1 - x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.6.4.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{| x | (1 - x)}{1 - x} = \frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)}$

Étape 1.2.6.4.3.2.2.2

Divisez $| x |$ par $1$ .

$| x | = \frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)}$

Étape 1.2.7

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$x = \pm (\frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)})$

Étape 1.2.8

Le résultat se compose des parties positive et négative de $\pm$ .

$x = \frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)}$

$x = - (\frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)})$

Étape 1.2.9

Résolvez $x = \frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)}$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.9.1

Résolvez $| 1 - x |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.9.1.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)} = x$ .

$\frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)} = x$

Étape 1.2.9.1.2

Multipliez les deux côtés par $2 (1 - x)$ .

$\frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)} (2 (1 - x)) = x (2 (1 - x))$

Étape 1.2.9.1.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.9.1.3.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.9.1.3.1.1

Simplifiez $\frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)} (2 (1 - x))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.9.1.3.1.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)} (1 - x) = x (2 (1 - x))$

Étape 1.2.9.1.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.9.1.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)} (1 - x) = x (2 (1 - x))$

Étape 1.2.9.1.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{| 1 - x | x}{1 - x} (1 - x) = x (2 (1 - x))$

Étape 1.2.9.1.3.1.1.3

Annulez le facteur commun de $1 - x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.9.1.3.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{| 1 - x | x}{1 - x} (1 - x) = x (2 (1 - x))$

Étape 1.2.9.1.3.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$| 1 - x | x = x (2 (1 - x))$

Étape 1.2.9.1.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.9.1.3.2.1

Simplifiez $x (2 (1 - x))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.9.1.3.2.1.1

Simplifiez en multipliant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.9.1.3.2.1.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$| 1 - x | x = 2 x (1 - x)$

Étape 1.2.9.1.3.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$| 1 - x | x = 2 x \cdot 1 + 2 x (- x)$

Étape 1.2.9.1.3.2.1.1.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.9.1.3.2.1.1.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$| 1 - x | x = 2 x + 2 x (- x)$

Étape 1.2.9.1.3.2.1.1.3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$| 1 - x | x = 2 x + 2 \cdot - 1 x \cdot x$

Étape 1.2.9.1.3.2.1.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.9.1.3.2.1.2.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.9.1.3.2.1.2.1.1

Déplacez $x$ .

$| 1 - x | x = 2 x + 2 \cdot - 1 (x \cdot x)$

Étape 1.2.9.1.3.2.1.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$| 1 - x | x = 2 x + 2 \cdot - 1 x^{2}$

Étape 1.2.9.1.3.2.1.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$| 1 - x | x = 2 x - 2 x^{2}$

Étape 1.2.9.1.3.2.1.3

Remettez dans l’ordre $2 x$ et $- 2 x^{2}$ .

$| 1 - x | x = - 2 x^{2} + 2 x$

Étape 1.2.9.1.4

Divisez chaque terme dans $| 1 - x | x = - 2 x^{2} + 2 x$ par $x$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.9.1.4.1

Divisez chaque terme dans $| 1 - x | x = - 2 x^{2} + 2 x$ par $x$ .

$\frac{| 1 - x | x}{x} = \frac{- 2 x^{2}}{x} + \frac{2 x}{x}$

Étape 1.2.9.1.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.9.1.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.9.1.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{| 1 - x | x}{x} = \frac{- 2 x^{2}}{x} + \frac{2 x}{x}$

Étape 1.2.9.1.4.2.1.2

Divisez $| 1 - x |$ par $1$ .

$| 1 - x | = \frac{- 2 x^{2}}{x} + \frac{2 x}{x}$

Étape 1.2.9.1.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.9.1.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.9.1.4.3.1.1

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.9.1.4.3.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$| 1 - x | = \frac{x (- 2 x)}{x} + \frac{2 x}{x}$

Étape 1.2.9.1.4.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.9.1.4.3.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$| 1 - x | = \frac{x (- 2 x)}{x^{1}} + \frac{2 x}{x}$

Étape 1.2.9.1.4.3.1.1.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$| 1 - x | = \frac{x (- 2 x)}{x \cdot 1} + \frac{2 x}{x}$

Étape 1.2.9.1.4.3.1.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$| 1 - x | = \frac{x (- 2 x)}{x \cdot 1} + \frac{2 x}{x}$

Étape 1.2.9.1.4.3.1.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$| 1 - x | = \frac{- 2 x}{1} + \frac{2 x}{x}$

Étape 1.2.9.1.4.3.1.1.2.5

Divisez $- 2 x$ par $1$ .

$| 1 - x | = - 2 x + \frac{2 x}{x}$

Étape 1.2.9.1.4.3.1.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.9.1.4.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$| 1 - x | = - 2 x + \frac{2 x}{x}$

Étape 1.2.9.1.4.3.1.2.2

Divisez $2$ par $1$ .

$| 1 - x | = - 2 x + 2$

Étape 1.2.9.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$1 - x = \pm (- 2 x + 2)$

Étape 1.2.9.3

Le résultat se compose des parties positive et négative de $\pm$ .

$1 - x = - 2 x + 2$

$1 - x = - (- 2 x + 2)$

Étape 1.2.9.4

Résolvez $1 - x = - 2 x + 2$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.9.4.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.9.4.1.1

Ajoutez $2 x$ aux deux côtés de l’équation.

$1 - x + 2 x = 2$

Étape 1.2.9.4.1.2

Additionnez $- x$ et $2 x$ .

$1 + x = 2$

Étape 1.2.9.4.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.9.4.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = 2 - 1$

Étape 1.2.9.4.2.2

Soustrayez $1$ de $2$ .

$x = 1$

Étape 1.2.9.5

Consolidez les solutions.

$x = 1$

Étape 1.2.10

Déterminez le domaine de $\frac{x}{| x |} - \frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.10.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x}{| x |}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$| x | = 0$

Étape 1.2.10.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.10.2.1

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$x = \pm 0$

Étape 1.2.10.2.2

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.10.3

Définissez le dénominateur dans $\frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$| 1 - x | = 0$

Étape 1.2.10.4

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.10.4.1

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$1 - x = \pm 0$

Étape 1.2.10.4.2

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$1 - x = 0$

Étape 1.2.10.4.3

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 1$

Étape 1.2.10.4.4

Divisez chaque terme dans $- x = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.10.4.4.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 1.2.10.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.10.4.4.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 1.2.10.4.4.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 1.2.10.4.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.10.4.4.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$x = 1$

Étape 1.2.10.5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 1.2.11

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Étape 1.2.12

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.12.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.12.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 1.2.12.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{- 2}{| - 2 |} - \frac{2 (1 - (- 2))}{| 1 - (- 2) |} = 0$

Étape 1.2.12.1.3

Le côté gauche $- 3$ n’est pas égal au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 1.2.12.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.12.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0.5$

Étape 1.2.12.2.2

Remplacez $x$ par $0.5$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{0.5}{| 0.5 |} - \frac{2 (1 - (0.5))}{| 1 - (0.5) |} = 0$

Étape 1.2.12.2.3

Le côté gauche $- 1$ n’est pas égal au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 1.2.12.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.12.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 1.2.12.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{4}{| 4 |} - \frac{2 (1 - (4))}{| 1 - (4) |} = 0$

Étape 1.2.12.3.3

Le côté gauche $3$ n’est pas égal au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 1.2.12.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Faux

$0 < x < 1$ Faux

$x > 1$ Faux

$x < 0$ Faux

$0 < x < 1$ Faux

$x > 1$ Faux

Étape 1.2.13

Comme aucun nombre ne se trouve dans l’intervalle, l’inégalité n’a pas de solution.

Aucune solution

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x}{| x |}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$| x | = 0$

Étape 1.3.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.1

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$x = \pm 0$

Étape 1.3.2.2

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 1.3.3

Définissez le dénominateur dans $\frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$| 1 - x | = 0$

Étape 1.3.4

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.4.1

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$1 - x = \pm 0$

Étape 1.3.4.2

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$1 - x = 0$

Étape 1.3.4.3

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 1$

Étape 1.3.4.4

Divisez chaque terme dans $- x = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.4.4.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 1.3.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.4.4.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 1.3.4.4.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 1.3.4.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.4.4.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$x = 1$

Étape 1.3.5

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x = 0, x = 1$

Étape 1.4

Évaluez $| x | + 2 | 1 - x |$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$| 0 | + 2 | 1 - (0) |$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.1.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $0$ est $0$ .

$0 + 2 | 1 - (0) |$

Étape 1.4.1.2.1.2

Soustrayez $0$ de $1$ .

$0 + 2 | 1 |$

Étape 1.4.1.2.1.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

Étape 1.4.1.2.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$0 + 2$

Étape 1.4.1.2.2

Additionnez $0$ et $2$ .

$2$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $1$ .

$| 1 | + 2 | 1 - (1) |$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.2.1.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$1 + 2 | 1 - (1) |$

Étape 1.4.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$1 + 2 | 1 - 1 |$

Étape 1.4.2.2.1.3

Soustrayez $1$ de $1$ .

$1 + 2 | 0 |$

Étape 1.4.2.2.1.4

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $0$ est $0$ .

$1 + 2 \cdot 0$

Étape 1.4.2.2.1.5

Multipliez $2$ par $0$ .

$1 + 0$

Étape 1.4.2.2.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 1.4.3

Indiquez tous les points.

$(0, 2), (1, 1)$

Étape 2

Évaluez sur les points finaux inclus.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Évaluez sur $x = - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Remplacez $x$ par $- 2$ .

$| - 2 | + 2 | 1 - (- 2) |$

Étape 2.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $- 2$ et $0$ est $2$ .

$2 + 2 | 1 - (- 2) |$

Étape 2.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$2 + 2 | 1 + 2 |$

Étape 2.1.2.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$2 + 2 | 3 |$

Étape 2.1.2.1.4

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $3$ est $3$ .

$2 + 2 \cdot 3$

Étape 2.1.2.1.5

Multipliez $2$ par $3$ .

$2 + 6$

Étape 2.1.2.2

Additionnez $2$ et $6$ .

$8$

Étape 2.2

Évaluez sur $x = 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Remplacez $x$ par $2$ .

$| 2 | + 2 | 1 - (2) |$

Étape 2.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$2 + 2 | 1 - (2) |$

Étape 2.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 + 2 | 1 - 2 |$

Étape 2.2.2.1.3

Soustrayez $2$ de $1$ .

$2 + 2 | - 1 |$

Étape 2.2.2.1.4

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $- 1$ et $0$ est $1$ .

$2 + 2 \cdot 1$

Étape 2.2.2.1.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + 2$

Étape 2.2.2.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$4$

Étape 2.3

Indiquez tous les points.

$(- 2, 8), (2, 4)$

Étape 3

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(- 2, 8)$

Minimum absolu : $(1, 1)$

Étape 4