Calcul infinitésimal Exemples

Trouver le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle g(x)=1/20x^2-25 racine carrée de x on 0 , 49
on ,
Étape 1
Déterminez les points critiques.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1
Déterminez la dérivée première.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1
Déterminez la dérivée première.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.1.2
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.1.2.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.1.1.2.3
Associez et .
Étape 1.1.1.2.4
Associez et .
Étape 1.1.1.2.5
Annulez le facteur commun à et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1.2.5.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.1.1.2.5.2
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1.2.5.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.1.1.2.5.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 1.1.1.2.5.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 1.1.1.3
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1.3.1
Utilisez pour réécrire comme .
Étape 1.1.1.3.2
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.1.3.3
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.1.1.3.4
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 1.1.1.3.5
Associez et .
Étape 1.1.1.3.6
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 1.1.1.3.7
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1.3.7.1
Multipliez par .
Étape 1.1.1.3.7.2
Soustrayez de .
Étape 1.1.1.3.8
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 1.1.1.3.9
Associez et .
Étape 1.1.1.3.10
Associez et .
Étape 1.1.1.3.11
Placez sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif .
Étape 1.1.1.3.12
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 1.1.2
La dérivée première de par rapport à est .
Étape 1.2
Définissez la dérivée première égale à puis résolvez l’équation .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.1
Définissez la dérivée première égale à .
Étape 1.2.2
Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.2.1
Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.
Étape 1.2.2.2
Comme contient des nombres et des variables, deux étapes sont nécessaires pour déterminer le plus petit multiple commun. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie numérique puis déterminez le plus petit multiple commun pour la partie variable .
Étape 1.2.2.3
Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.
1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.
2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.
Étape 1.2.2.4
a des facteurs de et .
Étape 1.2.2.5
n’a pas de facteur hormis et .
est un nombre premier
Étape 1.2.2.6
Le nombre n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.
Pas premier
Étape 1.2.2.7
Le plus petit multiple commun de est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.
Étape 1.2.2.8
Multipliez par .
Étape 1.2.2.9
Le plus petit multiple commun de est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.
Étape 1.2.2.10
Le plus petit multiple commun pour est la partie numérique multipliée par la partie variable.
Étape 1.2.3
Multiplier chaque terme dans par afin d’éliminer les fractions.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.3.1
Multipliez chaque terme dans par .
Étape 1.2.3.2
Simplifiez le côté gauche.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.3.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.3.2.1.1
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 1.2.3.2.1.2
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.3.2.1.2.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.2.3.2.1.2.2
Réécrivez l’expression.
Étape 1.2.3.2.1.3
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.3.2.1.3.1
Multipliez par .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.3.2.1.3.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 1.2.3.2.1.3.1.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 1.2.3.2.1.3.2
Écrivez comme une fraction avec un dénominateur commun.
Étape 1.2.3.2.1.3.3
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 1.2.3.2.1.3.4
Additionnez et .
Étape 1.2.3.2.1.4
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.3.2.1.4.1
Placez le signe négatif initial dans dans le numérateur.
Étape 1.2.3.2.1.4.2
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.3.2.1.4.3
Annulez le facteur commun.
Étape 1.2.3.2.1.4.4
Réécrivez l’expression.
Étape 1.2.3.2.1.5
Multipliez par .
Étape 1.2.3.3
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.3.3.1
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.3.3.1.1
Multipliez par .
Étape 1.2.3.3.1.2
Multipliez par .
Étape 1.2.4
Résolvez l’équation.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.4.1
Ajoutez aux deux côtés de l’équation.
Étape 1.2.4.2
Élevez chaque côté de l’équation à la puissance pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.
Étape 1.2.4.3
Simplifiez l’exposant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.4.3.1
Simplifiez le côté gauche.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.4.3.1.1
Simplifiez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.4.3.1.1.1
Multipliez les exposants dans .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.4.3.1.1.1.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 1.2.4.3.1.1.1.2
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.4.3.1.1.1.2.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.2.4.3.1.1.1.2.2
Réécrivez l’expression.
Étape 1.2.4.3.1.1.1.3
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.4.3.1.1.1.3.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.2.4.3.1.1.1.3.2
Réécrivez l’expression.
Étape 1.2.4.3.1.1.2
Simplifiez
Étape 1.2.4.3.2
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.4.3.2.1
Simplifiez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.4.3.2.1.1
Simplifiez l’expression.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.4.3.2.1.1.1
Réécrivez comme .
Étape 1.2.4.3.2.1.1.2
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 1.2.4.3.2.1.2
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.4.3.2.1.2.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.2.4.3.2.1.2.2
Réécrivez l’expression.
Étape 1.2.4.3.2.1.3
Élevez à la puissance .
Étape 1.3
Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.1
Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.1.1
Appliquez la règle pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.
Étape 1.3.1.2
Toute valeur élevée à est la base elle-même.
Étape 1.3.2
Définissez le dénominateur dans égal à pour déterminer où l’expression est indéfinie.
Étape 1.3.3
Résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.3.1
Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.
Étape 1.3.3.2
Simplifiez chaque côté de l’équation.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.3.2.1
Utilisez pour réécrire comme .
Étape 1.3.3.2.2
Simplifiez le côté gauche.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.3.2.2.1
Simplifiez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.3.2.2.1.1
Appliquez la règle de produit à .
Étape 1.3.3.2.2.1.2
Élevez à la puissance .
Étape 1.3.3.2.2.1.3
Multipliez les exposants dans .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.3.2.2.1.3.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 1.3.3.2.2.1.3.2
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.3.2.2.1.3.2.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.3.3.2.2.1.3.2.2
Réécrivez l’expression.
Étape 1.3.3.2.2.1.4
Simplifiez
Étape 1.3.3.2.3
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.3.2.3.1
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 1.3.3.3
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.3.3.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 1.3.3.3.2
Simplifiez le côté gauche.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.3.3.2.1
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.3.3.2.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.3.3.3.2.1.2
Divisez par .
Étape 1.3.3.3.3
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.3.3.3.1
Divisez par .
Étape 1.3.4
Définissez le radicande dans inférieur à pour déterminer où l’expression est indéfinie.
Étape 1.3.5
L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à , l’argument d’une racine carrée est inférieur à ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à .
Étape 1.4
Évaluez sur chaque valeur où la dérivée est ou indéfinie.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1
Évaluez sur .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.1
Remplacez par .
Étape 1.4.1.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.2.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 1.4.1.2.1.2
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.2.1.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.4.1.2.1.2.2
Factorisez à partir de .
Étape 1.4.1.2.1.2.3
Annulez le facteur commun.
Étape 1.4.1.2.1.2.4
Réécrivez l’expression.
Étape 1.4.1.2.1.3
Associez et .
Étape 1.4.1.2.1.4
Réécrivez comme .
Étape 1.4.1.2.1.5
Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.
Étape 1.4.1.2.1.6
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.2
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 1.4.1.2.3
Associez et .
Étape 1.4.1.2.4
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 1.4.1.2.5
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.2.5.1
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.5.2
Soustrayez de .
Étape 1.4.1.2.6
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 1.4.2
Évaluez sur .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.2.1
Remplacez par .
Étape 1.4.2.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.2.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.2.2.1.1
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 1.4.2.2.1.2
Multipliez par .
Étape 1.4.2.2.1.3
Réécrivez comme .
Étape 1.4.2.2.1.4
Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.
Étape 1.4.2.2.1.5
Multipliez par .
Étape 1.4.2.2.2
Additionnez et .
Étape 1.4.3
Indiquez tous les points.
Étape 2
Évaluez sur les points finaux inclus.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1
Évaluez sur .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.1
Remplacez par .
Étape 2.1.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.1.1
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 2.1.2.1.2
Multipliez par .
Étape 2.1.2.1.3
Réécrivez comme .
Étape 2.1.2.1.4
Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.
Étape 2.1.2.1.5
Multipliez par .
Étape 2.1.2.2
Additionnez et .
Étape 2.2
Évaluez sur .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.1
Remplacez par .
Étape 2.2.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.2.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 2.2.2.1.2
Associez et .
Étape 2.2.2.1.3
Réécrivez comme .
Étape 2.2.2.1.4
Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.
Étape 2.2.2.1.5
Multipliez par .
Étape 2.2.2.2
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 2.2.2.3
Associez et .
Étape 2.2.2.4
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 2.2.2.5
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.2.5.1
Multipliez par .
Étape 2.2.2.5.2
Soustrayez de .
Étape 2.2.2.6
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 2.3
Indiquez tous les points.
Étape 3
Comparez les valeurs trouvées pour chaque valeur de afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur la plus haute et le minimum intervient sur la valeur la plus basse.
Maximum absolu :
Minimum absolu :
Étape 4