Calcul infinitésimal Exemples

Trouver le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle f(x)=x+1/x
Étape 1
Déterminez la dérivée première de la fonction.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1
Différenciez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.2
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.1
Réécrivez comme .
Étape 1.2.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.3
Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif .
Étape 1.4
Remettez les termes dans l’ordre.
Étape 2
Déterminez la dérivée seconde de la fonction.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.2
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.1
Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que est et .
Étape 2.2.2
Réécrivez comme .
Étape 2.2.3
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.3.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 2.2.3.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 2.2.3.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 2.2.4
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 2.2.5
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.2.6
Multipliez les exposants dans .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.6.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 2.2.6.2
Multipliez par .
Étape 2.2.7
Multipliez par .
Étape 2.2.8
Élevez à la puissance .
Étape 2.2.9
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 2.2.10
Soustrayez de .
Étape 2.2.11
Multipliez par .
Étape 2.2.12
Multipliez par .
Étape 2.2.13
Additionnez et .
Étape 2.3
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.4
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.4.1
Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif .
Étape 2.4.2
Associez des termes.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.4.2.1
Associez et .
Étape 2.4.2.2
Additionnez et .
Étape 3
Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à et résolvez.
Étape 4
Déterminez la dérivée première.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1
Déterminez la dérivée première.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.1
Différenciez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.1.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.1.1.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 4.1.2
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.2.1
Réécrivez comme .
Étape 4.1.2.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 4.1.3
Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif .
Étape 4.1.4
Remettez les termes dans l’ordre.
Étape 4.2
La dérivée première de par rapport à est .
Étape 5
Définissez la dérivée première égale à puis résolvez l’équation .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.1
Définissez la dérivée première égale à .
Étape 5.2
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 5.3
Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.1
Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.
Étape 5.3.2
Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.
Étape 5.4
Multiplier chaque terme dans par afin d’éliminer les fractions.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.4.1
Multipliez chaque terme dans par .
Étape 5.4.2
Simplifiez le côté gauche.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.4.2.1
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.4.2.1.1
Placez le signe négatif initial dans dans le numérateur.
Étape 5.4.2.1.2
Annulez le facteur commun.
Étape 5.4.2.1.3
Réécrivez l’expression.
Étape 5.5
Résolvez l’équation.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.5.1
Réécrivez l’équation comme .
Étape 5.5.2
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.5.2.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 5.5.2.2
Simplifiez le côté gauche.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.5.2.2.1
La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.
Étape 5.5.2.2.2
Divisez par .
Étape 5.5.2.3
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.5.2.3.1
Divisez par .
Étape 5.5.3
Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.
Étape 5.5.4
Toute racine de est .
Étape 5.5.5
La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.5.5.1
Commencez par utiliser la valeur positive du pour déterminer la première solution.
Étape 5.5.5.2
Ensuite, utilisez la valeur négative du pour déterminer la deuxième solution.
Étape 5.5.5.3
La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.
Étape 6
Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.1
Définissez le dénominateur dans égal à pour déterminer où l’expression est indéfinie.
Étape 6.2
Résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.1
Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.
Étape 6.2.2
Simplifiez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.2.1
Réécrivez comme .
Étape 6.2.2.2
Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.
Étape 6.2.2.3
Plus ou moins est .
Étape 7
Points critiques à évaluer.
Étape 8
Évaluez la dérivée seconde sur . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.
Étape 9
Évaluez la dérivée seconde.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 9.1
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
Étape 9.2
Divisez par .
Étape 10
est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.
est un minimum local
Étape 11
Déterminez la valeur y quand .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 11.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 11.2
Simplifiez le résultat.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 11.2.1
Divisez par .
Étape 11.2.2
Additionnez et .
Étape 11.2.3
La réponse finale est .
Étape 12
Évaluez la dérivée seconde sur . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.
Étape 13
Évaluez la dérivée seconde.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 13.1
Élevez à la puissance .
Étape 13.2
Divisez par .
Étape 14
est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.
est un maximum local
Étape 15
Déterminez la valeur y quand .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 15.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 15.2
Simplifiez le résultat.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 15.2.1
Divisez par .
Étape 15.2.2
Soustrayez de .
Étape 15.2.3
La réponse finale est .
Étape 16
Ce sont les extrema locaux pour .
est un minimum local
est un maximum local
Étape 17