Calcul infinitésimal Exemples

$y = 5 \cos (x)$ , $[0, 2 π]$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.1.1.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$5 (- \sin (x))$

Étape 1.1.1.3

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$f' (x) = - 5 \sin (x)$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 5 \sin (x)$ .

$- 5 \sin (x)$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 5 \sin (x) = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 5 \sin (x) = 0$

Étape 1.2.2

Divisez chaque terme dans $- 5 \sin (x) = 0$ par $- 5$ et simplifiez.

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Étape 1.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 5 \sin (x) = 0$ par $- 5$ .

$\frac{- 5 \sin (x)}{- 5} = \frac{0}{- 5}$

Étape 1.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 5$ .

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Étape 1.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 5 \sin (x)}{- 5} = \frac{0}{- 5}$

Étape 1.2.2.2.1.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{0}{- 5}$

Étape 1.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.2.3.1

Divisez $0$ par $- 5$ .

$\sin (x) = 0$

Étape 1.2.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (0)$

Étape 1.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - 0$

Étape 1.2.6

Soustrayez $0$ de $π$ .

$x = π$

Étape 1.2.7

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 1.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 1.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 1.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 1.2.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 1.2.8

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.2.9

Consolidez les réponses.

$x = π n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $5 \cos (x)$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$5 \cos (0)$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$5 \cdot 1$

Étape 1.4.1.2.2

Multipliez $5$ par $1$ .

$5$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = π$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $π$ .

$5 \cos (π)$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.2.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$5 (- \cos (0))$

Étape 1.4.2.2.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$5 (- 1 \cdot 1)$

Étape 1.4.2.2.3

Multipliez $5 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 1.4.2.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$5 \cdot - 1$

Étape 1.4.2.2.3.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$- 5$

Étape 1.4.3

Indiquez tous les points.

$(0 + 2 π n, 5), (π + 2 π n, - 5)$ , pour tout entier $n$

Étape 2

Excluez les points qui ne sont pas sur l’intervalle.

$(0, 5), (2 π, 5), (π, - 5)$

Étape 3

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 3.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$5 \cos (0)$

Étape 3.1.2

Simplifiez

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Étape 3.1.2.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$5 \cdot 1$

Étape 3.1.2.2

Multipliez $5$ par $1$ .

$5$

Étape 3.2

Évaluez sur $x = 2 π$ .

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Étape 3.2.1

Remplacez $x$ par $2 π$ .

$5 \cos (2 π)$

Étape 3.2.2

Simplifiez

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Étape 3.2.2.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$5 \cos (0)$

Étape 3.2.2.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$5 \cdot 1$

Étape 3.2.2.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$5$

Étape 3.3

Indiquez tous les points.

$(0, 5), (2 π, 5)$

Étape 4

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(0, 5), (2 π, 5)$

Minimum absolu : $(π, - 5)$

Étape 5