Calcul infinitésimal Exemples

$y = - \frac{1}{x}$ ; $x = 2$

Étape 1

Déterminez la valeur $y$ correspondant à $x = 2$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $2$ .

$y = - \frac{1}{2}$

Étape 1.2

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{1}{2}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 2$ et $y = - \frac{1}{2}$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.3

Multipliez.

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Étape 2.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.3.2

Multipliez $x^{- 2}$ par $1$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Étape 2.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.5.1

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $0$ .

$x^{- 2} + 0$

Étape 2.2.5.2

Additionnez $x^{- 2}$ et $0$ .

$x^{- 2}$

Étape 2.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Étape 2.4

Évaluez la dérivée sur $x = 2$ .

$\frac{1}{{(2)}^{2}}$

Étape 2.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{4}$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $\frac{1}{4}$ et un point donné, tel que $(2, - \frac{1}{2})$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} \cdot (x - (2))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \cdot (x - 2)$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Simplifiez $\frac{1}{4} \cdot (x - 2)$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez.

$y + \frac{1}{2} = 0 + 0 + \frac{1}{4} \cdot (x - 2)$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \cdot (x - 2)$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} x + \frac{1}{4} \cdot - 2$

Étape 3.3.1.4

Associez $\frac{1}{4}$ et $x$ .

$y + \frac{1}{2} = \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot - 2$

Étape 3.3.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.5.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$y + \frac{1}{2} = \frac{x}{4} + \frac{1}{2 (2)} \cdot - 2$

Étape 3.3.1.5.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$y + \frac{1}{2} = \frac{x}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Étape 3.3.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$y + \frac{1}{2} = \frac{x}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Étape 3.3.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$y + \frac{1}{2} = \frac{x}{4} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

Étape 3.3.1.6

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$y + \frac{1}{2} = \frac{x}{4} + \frac{- 1}{2}$

Étape 3.3.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$y + \frac{1}{2} = \frac{x}{4} - \frac{1}{2}$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Soustrayez $\frac{1}{2}$ des deux côtés de l’équation.

$y = \frac{x}{4} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 3.3.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{x}{4} + \frac{- 1 - 1}{2}$

Étape 3.3.2.3

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$y = \frac{x}{4} + \frac{- 2}{2}$

Étape 3.3.2.4

Divisez $- 2$ par $2$ .

$y = \frac{x}{4} - 1$

Étape 3.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{1}{4} x - 1$

Étape 4