Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{1}{x}$ , $(2, \frac{1}{2})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 2$ et $y = \frac{1}{2}$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- x^{- 2}$

Étape 1.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.4

Évaluez la dérivée sur $x = 2$ .

$- \frac{1}{{(2)}^{2}}$

Étape 1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- \frac{1}{4}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $- \frac{1}{4}$ et un point donné, tel que $(2, \frac{1}{2})$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} \cdot (x - (2))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{1}{4} \cdot (x - 2)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $- \frac{1}{4} \cdot (x - 2)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - \frac{1}{2} = 0 + 0 - \frac{1}{4} \cdot (x - 2)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{1}{4} \cdot (x - 2)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{1}{4} x - \frac{1}{4} \cdot - 2$

Étape 2.3.1.4

Associez $x$ et $\frac{1}{4}$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x}{4} - \frac{1}{4} \cdot - 2$

Étape 2.3.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.1.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{4}$ dans le numérateur.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x}{4} + \frac{- 1}{4} \cdot - 2$

Étape 2.3.1.5.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x}{4} + \frac{- 1}{2 (2)} \cdot - 2$

Étape 2.3.1.5.3

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x}{4} + \frac{- 1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Étape 2.3.1.5.4

Annulez le facteur commun.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x}{4} + \frac{- 1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Étape 2.3.1.5.5

Réécrivez l’expression.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x}{4} + \frac{- 1}{2} \cdot - 1$

Étape 2.3.1.6

Associez $\frac{- 1}{2}$ et $- 1$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x}{4} + \frac{- - 1}{2}$

Étape 2.3.1.7

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x}{4} + \frac{1}{2}$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $\frac{1}{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - \frac{x}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 2.3.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{- x}{4} + \frac{1 + 1}{2}$

Étape 2.3.2.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \frac{- x}{4} + \frac{2}{2}$

Étape 2.3.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.2.4.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{x}{4} + \frac{2}{2}$

Étape 2.3.2.4.2

Divisez $2$ par $2$ .

$y = - \frac{x}{4} + 1$

Étape 2.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 2.3.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - (\frac{1}{4} x) + 1$

Étape 2.3.3.2

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{1}{4} x + 1$

Étape 3