Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x^{2} + x + 1$ ; $x = 1$

Étape 1

Déterminez la valeur $y$ correspondant à $x = 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $1$ .

$y = 2 {(1)}^{2} + 1 + 1$

Étape 1.2

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 2 {(1)}^{2} + 1 + 1$

Étape 1.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = 2 \cdot 1^{2} + 1 + 1$

Étape 1.2.3

Supprimez les parenthèses.

$y = 2 {(1)}^{2} + 1 + 1$

Étape 1.2.4

Simplifiez $2 {(1)}^{2} + 1 + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = 2 \cdot 1 + 1 + 1$

Étape 1.2.4.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = 2 + 1 + 1$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.1

Additionnez $2$ et $1$ .

$y = 3 + 1$

Étape 1.2.4.2.2

Additionnez $3$ et $1$ .

$y = 4$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 1$ et $y = 4$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} + x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 x + 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x + 1 + 0$

Étape 2.3.3

Additionnez $4 x + 1$ et $0$ .

$4 x + 1$

Étape 2.4

Évaluez la dérivée sur $x = 1$ .

$4 (1) + 1$

Étape 2.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 + 1$

Étape 2.5.2

Additionnez $4$ et $1$ .

$5$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Utilisez la pente $5$ et un point donné, tel que $(1, 4)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = 5 \cdot (x - (1))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 4 = 5 \cdot (x - 1)$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Simplifiez $5 \cdot (x - 1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.1

Réécrivez.

$y - 4 = 0 + 0 + 5 \cdot (x - 1)$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 4 = 5 \cdot (x - 1)$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 4 = 5 x + 5 \cdot - 1$

Étape 3.3.1.4

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$y - 4 = 5 x - 5$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 5 x - 5 + 4$

Étape 3.3.2.2

Additionnez $- 5$ et $4$ .

$y = 5 x - 1$

Étape 4