Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{x^{3}}$ at $(3, \frac{1}{27})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 3$ et $y = \frac{1}{27}$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.1.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{3}}$ comme ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Étape 1.1.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 1.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

Étape 1.1.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 3$ .

$- 3 x^{- 4}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{x^{4}}$

Étape 1.3.2

Associez des termes.

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Étape 1.3.2.1

Associez $- 3$ et $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{- 3}{x^{4}}$

Étape 1.3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{x^{4}}$

Étape 1.4

Évaluez la dérivée sur $x = 3$ .

$- \frac{3}{{(3)}^{4}}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Annulez le facteur commun à $3$ et ${(3)}^{4}$ .

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Étape 1.5.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$- \frac{3 (1)}{{(3)}^{4}}$

Étape 1.5.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de ${(3)}^{4}$ .

$- \frac{3 (1)}{3 \cdot 3^{3}}$

Étape 1.5.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3^{3}}$

Étape 1.5.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{3^{3}}$

Étape 1.5.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$- \frac{1}{27}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $- \frac{1}{27}$ et un point donné, tel que $(3, \frac{1}{27})$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{27}) = - \frac{1}{27} \cdot (x - (3))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - \frac{1}{27} = - \frac{1}{27} \cdot (x - 3)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $- \frac{1}{27} \cdot (x - 3)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - \frac{1}{27} = 0 + 0 - \frac{1}{27} \cdot (x - 3)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - \frac{1}{27} = - \frac{1}{27} \cdot (x - 3)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - \frac{1}{27} = - \frac{1}{27} x - \frac{1}{27} \cdot - 3$

Étape 2.3.1.4

Associez $x$ et $\frac{1}{27}$ .

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x}{27} - \frac{1}{27} \cdot - 3$

Étape 2.3.1.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.3.1.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{27}$ dans le numérateur.

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x}{27} + \frac{- 1}{27} \cdot - 3$

Étape 2.3.1.5.2

Factorisez $3$ à partir de $27$ .

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x}{27} + \frac{- 1}{3 (9)} \cdot - 3$

Étape 2.3.1.5.3

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x}{27} + \frac{- 1}{3 \cdot 9} \cdot (3 \cdot - 1)$

Étape 2.3.1.5.4

Annulez le facteur commun.

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x}{27} + \frac{- 1}{3 \cdot 9} \cdot (3 \cdot - 1)$

Étape 2.3.1.5.5

Réécrivez l’expression.

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x}{27} + \frac{- 1}{9} \cdot - 1$

Étape 2.3.1.6

Associez $\frac{- 1}{9}$ et $- 1$ .

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x}{27} + \frac{- - 1}{9}$

Étape 2.3.1.7

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x}{27} + \frac{1}{9}$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $\frac{1}{27}$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - \frac{x}{27} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27}$

Étape 2.3.2.2

Pour écrire $\frac{1}{9}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{x}{27} + \frac{1}{9} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{27}$

Étape 2.3.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $27$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.3.2.3.1

Multipliez $\frac{1}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{x}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} + \frac{1}{27}$

Étape 2.3.2.3.2

Multipliez $9$ par $3$ .

$y = - \frac{x}{27} + \frac{3}{27} + \frac{1}{27}$

Étape 2.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = - \frac{x}{27} + \frac{3 + 1}{27}$

Étape 2.3.2.5

Additionnez $3$ et $1$ .

$y = - \frac{x}{27} + \frac{4}{27}$

Étape 2.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 2.3.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - (\frac{1}{27} x) + \frac{4}{27}$

Étape 2.3.3.2

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{1}{27} x + \frac{4}{27}$

Étape 3