Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt{3 x + 27}$ , $(3, 6)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 3$ et $y = 6$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3 x + 27}$ comme ${(3 x + 27)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(3 x + 27)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 3 x + 27$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x + 27$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [3 x + 27]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x + 27]$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x + 27$ .

$\frac{1}{2} {(3 x + 27)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x + 27]$

Étape 1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(3 x + 27)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 27]$

Étape 1.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(3 x + 27)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 27]$

Étape 1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {(3 x + 27)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 27]$

Étape 1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {(3 x + 27)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 27]$

Étape 1.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(3 x + 27)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 27]$

Étape 1.7

Associez les fractions.

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Étape 1.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {(3 x + 27)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 27]$

Étape 1.7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(3 x + 27)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(3 x + 27)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 x + 27]$

Étape 1.7.3

Placez ${(3 x + 27)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(3 x + 27)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x + 27]$

Étape 1.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x + 27$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$\frac{1}{2 {(3 x + 27)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [27])$

Étape 1.9

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(3 x + 27)}^{\frac{1}{2}}} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [27])$

Étape 1.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(3 x + 27)}^{\frac{1}{2}}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [27])$

Étape 1.11

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{1}{2 {(3 x + 27)}^{\frac{1}{2}}} (3 + \frac{d}{d x} [27])$

Étape 1.12

Comme $27$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $27$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2 {(3 x + 27)}^{\frac{1}{2}}} (3 + 0)$

Étape 1.13

Associez les fractions.

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Étape 1.13.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$\frac{1}{2 {(3 x + 27)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 3$

Étape 1.13.2

Associez $\frac{1}{2 {(3 x + 27)}^{\frac{1}{2}}}$ et $3$ .

$\frac{3}{2 {(3 x + 27)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.14

Évaluez la dérivée sur $x = 3$ .

$\frac{3}{2 {(3 (3) + 27)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.15

Simplifiez

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Étape 1.15.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.15.1.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{3}{2 {(9 + 27)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.15.1.2

Additionnez $9$ et $27$ .

$\frac{3}{2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.15.1.3

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$\frac{3}{2 \cdot {(6^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.15.1.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 6^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 1.15.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.15.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{2 \cdot 6^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 1.15.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{2 \cdot 6^{1}}$

Étape 1.15.1.6

Évaluez l’exposant.

$\frac{3}{2 \cdot 6}$

Étape 1.15.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 1.15.2.1

Multipliez $2$ par $6$ .

$\frac{3}{12}$

Étape 1.15.2.2

Annulez le facteur commun à $3$ et $12$ .

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Étape 1.15.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 (1)}{12}$

Étape 1.15.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.15.2.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4}$

Étape 1.15.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4}$

Étape 1.15.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $\frac{1}{4}$ et un point donné, tel que $(3, 6)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (6) = \frac{1}{4} \cdot (x - (3))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 6 = \frac{1}{4} \cdot (x - 3)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $\frac{1}{4} \cdot (x - 3)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 6 = 0 + 0 + \frac{1}{4} \cdot (x - 3)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 6 = \frac{1}{4} \cdot (x - 3)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 6 = \frac{1}{4} x + \frac{1}{4} \cdot - 3$

Étape 2.3.1.4

Associez $\frac{1}{4}$ et $x$ .

$y - 6 = \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot - 3$

Étape 2.3.1.5

Associez $\frac{1}{4}$ et $- 3$ .

$y - 6 = \frac{x}{4} + \frac{- 3}{4}$

Étape 2.3.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y - 6 = \frac{x}{4} - \frac{3}{4}$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \frac{x}{4} - \frac{3}{4} + 6$

Étape 2.3.2.2

Pour écrire $6$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{x}{4} - \frac{3}{4} + 6 \cdot \frac{4}{4}$

Étape 2.3.2.3

Associez $6$ et $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{x}{4} - \frac{3}{4} + \frac{6 \cdot 4}{4}$

Étape 2.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{x}{4} + \frac{- 3 + 6 \cdot 4}{4}$

Étape 2.3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.2.5.1

Multipliez $6$ par $4$ .

$y = \frac{x}{4} + \frac{- 3 + 24}{4}$

Étape 2.3.2.5.2

Additionnez $- 3$ et $24$ .

$y = \frac{x}{4} + \frac{21}{4}$

Étape 2.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{1}{4} x + \frac{21}{4}$

Étape 3