Calcul infinitésimal Exemples

$x^{3} + y^{3} = 36 x y$ ; $(18, 18)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 18$ et $y = 18$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (36 x y)$

Étape 1.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.1

Différenciez.

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Étape 1.2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + y^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 1.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Étape 1.2.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 1.2.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 1.2.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 1.2.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 1.2.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Étape 1.3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 1.3.1

Comme $36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $36 x y$ par rapport à $x$ est $36 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$36 \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$36 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$36 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$36 (x y' + y \cdot 1)$

Étape 1.3.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$36 (x y' + y)$

Étape 1.3.6

Appliquez la propriété distributive.

$36 x y' + 36 y$

Étape 1.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 36 x y' + 36 y$

Étape 1.5

Résolvez $y'$ .

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Étape 1.5.1

Soustrayez $36 x y'$ des deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 36 x y' = 36 y$

Étape 1.5.2

Soustrayez $3 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$3 y^{2} y' - 36 x y' = 36 y - 3 x^{2}$

Étape 1.5.3

Factorisez $3 y'$ à partir de $3 y^{2} y' - 36 x y'$ .

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Étape 1.5.3.1

Factorisez $3 y'$ à partir de $3 y^{2} y'$ .

$3 y' y^{2} - 36 x y' = 36 y - 3 x^{2}$

Étape 1.5.3.2

Factorisez $3 y'$ à partir de $- 36 x y'$ .

$3 y' y^{2} + 3 y' (- 12 x) = 36 y - 3 x^{2}$

Étape 1.5.3.3

Factorisez $3 y'$ à partir de $3 y' y^{2} + 3 y' (- 12 x)$ .

$3 y' (y^{2} - 12 x) = 36 y - 3 x^{2}$

Étape 1.5.4

Divisez chaque terme dans $3 y' (y^{2} - 12 x) = 36 y - 3 x^{2}$ par $3 (y^{2} - 12 x)$ et simplifiez.

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Étape 1.5.4.1

Divisez chaque terme dans $3 y' (y^{2} - 12 x) = 36 y - 3 x^{2}$ par $3 (y^{2} - 12 x)$ .

$\frac{3 y' (y^{2} - 12 x)}{3 (y^{2} - 12 x)} = \frac{36 y}{3 (y^{2} - 12 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 12 x)}$

Étape 1.5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y' (y^{2} - 12 x)}{3 (y^{2} - 12 x)} = \frac{36 y}{3 (y^{2} - 12 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 12 x)}$

Étape 1.5.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (y^{2} - 12 x)}{y^{2} - 12 x} = \frac{36 y}{3 (y^{2} - 12 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 12 x)}$

Étape 1.5.4.2.2

Annulez le facteur commun de $y^{2} - 12 x$ .

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Étape 1.5.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (y^{2} - 12 x)}{y^{2} - 12 x} = \frac{36 y}{3 (y^{2} - 12 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 12 x)}$

Étape 1.5.4.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{36 y}{3 (y^{2} - 12 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 12 x)}$

Étape 1.5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.4.3.1.1

Annulez le facteur commun à $36$ et $3$ .

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Étape 1.5.4.3.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $36 y$ .

$y' = \frac{3 (12 y)}{3 (y^{2} - 12 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 12 x)}$

Étape 1.5.4.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.4.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{3 (12 y)}{3 (y^{2} - 12 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 12 x)}$

Étape 1.5.4.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{12 y}{y^{2} - 12 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 12 x)}$

Étape 1.5.4.3.1.2

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $3$ .

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Étape 1.5.4.3.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{12 y}{y^{2} - 12 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 12 x)}$

Étape 1.5.4.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.4.3.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{12 y}{y^{2} - 12 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 12 x)}$

Étape 1.5.4.3.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{12 y}{y^{2} - 12 x} + \frac{- x^{2}}{y^{2} - 12 x}$

Étape 1.5.4.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{12 y}{y^{2} - 12 x} - \frac{x^{2}}{y^{2} - 12 x}$

Étape 1.5.4.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{12 y - x^{2}}{y^{2} - 12 x}$

Étape 1.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{12 y - x^{2}}{y^{2} - 12 x}$

Étape 1.7

Évaluez sur $x = 18$ sur $y = 18$ .

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Étape 1.7.1

Remplacez la variable $x$ par $18$ dans l’expression.

$\frac{12 y - {(18)}^{2}}{y^{2} - 12 \cdot 18}$

Étape 1.7.2

Remplacez la variable $y$ par $18$ dans l’expression.

$\frac{12 (18) - {(18)}^{2}}{{(18)}^{2} - 12 \cdot 18}$

Étape 1.7.3

Annulez le facteur commun à $12 (18) - {(18)}^{2}$ et ${(18)}^{2} - 12 \cdot 18$ .

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Étape 1.7.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- {(18)}^{2} + 12 \cdot 18}{{(18)}^{2} - 12 \cdot 18}$

Étape 1.7.3.2

Factorisez $18$ à partir de $- {(18)}^{2}$ .

$\frac{18 (- 1 \cdot 18) + 12 \cdot 18}{{(18)}^{2} - 12 \cdot 18}$

Étape 1.7.3.3

Factorisez $18$ à partir de $12 \cdot 18$ .

$\frac{18 (- 1 \cdot 18) + 18 \cdot 12}{{(18)}^{2} - 12 \cdot 18}$

Étape 1.7.3.4

Factorisez $18$ à partir de $18 (- 1 \cdot 18) + 18 \cdot 12$ .

$\frac{18 (- 1 \cdot 18 + 12)}{{(18)}^{2} - 12 \cdot 18}$

Étape 1.7.3.5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.7.3.5.1

Factorisez $18$ à partir de ${(18)}^{2}$ .

$\frac{18 (- 1 \cdot 18 + 12)}{18 \cdot 18 - 12 \cdot 18}$

Étape 1.7.3.5.2

Factorisez $18$ à partir de $- 12 \cdot 18$ .

$\frac{18 (- 1 \cdot 18 + 12)}{18 \cdot 18 + 18 \cdot - 12}$

Étape 1.7.3.5.3

Factorisez $18$ à partir de $18 \cdot 18 + 18 \cdot - 12$ .

$\frac{18 (- 1 \cdot 18 + 12)}{18 \cdot (18 - 12)}$

Étape 1.7.3.5.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{18 (- 1 \cdot 18 + 12)}{18 \cdot (18 - 12)}$

Étape 1.7.3.5.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1 \cdot 18 + 12}{18 - 12}$

Étape 1.7.4

Annulez le facteur commun à $- 1 \cdot 18 + 12$ et $18 - 12$ .

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Étape 1.7.4.1

Factorisez $6$ à partir de $- 1 \cdot 18$ .

$\frac{6 (- 1 \cdot 3) + 12}{18 - 12}$

Étape 1.7.4.2

Factorisez $6$ à partir de $12$ .

$\frac{6 (- 1 \cdot 3) + 6 (2)}{18 - 12}$

Étape 1.7.4.3

Factorisez $6$ à partir de $6 (- 1 \cdot 3) + 6 (2)$ .

$\frac{6 (- 1 \cdot 3 + 2)}{18 - 12}$

Étape 1.7.4.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.7.4.4.1

Factorisez $6$ à partir de $18$ .

$\frac{6 (- 1 \cdot 3 + 2)}{6 (3) - 12}$

Étape 1.7.4.4.2

Factorisez $6$ à partir de $- 12$ .

$\frac{6 (- 1 \cdot 3 + 2)}{6 \cdot 3 + 6 \cdot - 2}$

Étape 1.7.4.4.3

Factorisez $6$ à partir de $6 \cdot 3 + 6 \cdot - 2$ .

$\frac{6 (- 1 \cdot 3 + 2)}{6 \cdot (3 - 2)}$

Étape 1.7.4.4.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 (- 1 \cdot 3 + 2)}{6 \cdot (3 - 2)}$

Étape 1.7.4.4.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1 \cdot 3 + 2}{3 - 2}$

Étape 1.7.5

Annulez le facteur commun à $- 1 \cdot 3 + 2$ et $3 - 2$ .

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Étape 1.7.5.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 \cdot 3$ .

$\frac{- 1 (3) + 2}{3 - 2}$

Étape 1.7.5.2

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$\frac{- 1 (3) - 1 (- 2)}{3 - 2}$

Étape 1.7.5.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (3) - 1 (- 2)$ .

$\frac{- 1 (3 - 2)}{3 - 2}$

Étape 1.7.5.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1 (3 - 2)}{3 - 2}$

Étape 1.7.5.5

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $- 1$ et un point donné, tel que $(18, 18)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (18) = - 1 \cdot (x - (18))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 18 = - 1 \cdot (x - 18)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $- 1 \cdot (x - 18)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 18 = 0 + 0 - 1 \cdot (x - 18)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 18 = - 1 \cdot (x - 18)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 18 = - 1 x - 1 \cdot - 18$

Étape 2.3.1.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.1.4.1

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$y - 18 = - x - 1 \cdot - 18$

Étape 2.3.1.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 18$ .

$y - 18 = - x + 18$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $18$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - x + 18 + 18$

Étape 2.3.2.2

Additionnez $18$ et $18$ .

$y = - x + 36$

Étape 3