Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{1 + x}{1 + e^{x}}$ , $(0, \frac{1}{2})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 0$ et $y = \frac{1}{2}$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 1 + x$ et $g (x) = 1 + e^{x}$ .

$\frac{(1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 + e^{x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(1 + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 1.2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(1 + e^{x}) \cdot 1 - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 1.2.5

Multipliez $1 + e^{x}$ par $1$ .

$\frac{1 + e^{x} - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 1.2.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{1 + e^{x} - (1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 1.2.7

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1 + e^{x} - (1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 1.2.8

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{1 + e^{x} - (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{1 + e^{x} - (1 + x) e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 + e^{x} + (- 1 \cdot 1 - x) e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 + e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x} - x e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 1.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.3.1.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 + e^{x} - 1 e^{x} - x e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 1.4.3.1.2

Réécrivez $- 1 e^{x}$ comme $- e^{x}$ .

$\frac{1 + e^{x} - e^{x} - x e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 1.4.3.2

Associez les termes opposés dans $1 + e^{x} - e^{x} - x e^{x}$ .

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Étape 1.4.3.2.1

Soustrayez $e^{x}$ de $e^{x}$ .

$\frac{1 + 0 - x e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 1.4.3.2.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1 - x e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 1.4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- e^{x} x + 1}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 1.4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- e^{x} x$ .

$\frac{- (e^{x} x) + 1}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 1.4.6

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (e^{x} x) - 1 (- 1)}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 1.4.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (e^{x} x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (e^{x} x - 1)}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 1.4.8

Réécrivez $- (e^{x} x - 1)$ comme $- 1 (e^{x} x - 1)$ .

$\frac{- 1 (e^{x} x - 1)}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 1.4.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{e^{x} x - 1}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 1.4.10

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{e^{x} x - 1}{{(1 + e^{x})}^{2}}$ .

$- \frac{x e^{x} - 1}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 1.5

Évaluez la dérivée sur $x = 0$ .

$- \frac{(0) \cdot e^{0} - 1}{{(1 + e^{0})}^{2}}$

Étape 1.6

Simplifiez

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Étape 1.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.6.1.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$- \frac{0 \cdot 1 - 1}{{(1 + e^{0})}^{2}}$

Étape 1.6.1.2

Multipliez $0$ par $1$ .

$- \frac{0 - 1}{{(1 + e^{0})}^{2}}$

Étape 1.6.1.3

Soustrayez $1$ de $0$ .

$- \frac{- 1}{{(1 + e^{0})}^{2}}$

Étape 1.6.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.6.2.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$- \frac{- 1}{{(1 + 1)}^{2}}$

Étape 1.6.2.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{- 1}{2^{2}}$

Étape 1.6.2.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- \frac{- 1}{4}$

Étape 1.6.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{1}{4}$

Étape 1.6.4

Multipliez $- - \frac{1}{4}$ .

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Étape 1.6.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{1}{4})$

Étape 1.6.4.2

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$\frac{1}{4}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $\frac{1}{4}$ et un point donné, tel que $(0, \frac{1}{2})$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} \cdot (x - (0))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \cdot (x + 0)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $\frac{1}{4} \cdot (x + 0)$ .

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Étape 2.3.1.1

Additionnez $x$ et $0$ .

$y - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \cdot x$

Étape 2.3.1.2

Associez $\frac{1}{4}$ et $x$ .

$y - \frac{1}{2} = \frac{x}{4}$

Étape 2.3.2

Ajoutez $\frac{1}{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \frac{x}{4} + \frac{1}{2}$

Étape 2.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{1}{4} x + \frac{1}{2}$

Étape 3