Calcul infinitésimal Exemples

$3 {(x^{2} + y^{2})}^{2} = 100 (x^{2} - y^{2})$ , $(4, 2)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 4$ et $y = 2$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (3 {(x^{2} + y^{2})}^{2}) = \frac{d}{d x} (100 (x^{2} - y^{2}))$

Étape 1.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 {(x^{2} + y^{2})}^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

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Étape 1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{2} + y^{2}$ .

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Étape 1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{2} + y^{2}$ .

$3 (2 (x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Étape 1.2.3

Différenciez.

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Étape 1.2.3.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 ((x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Étape 1.2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$6 (x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Étape 1.2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$6 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Étape 1.2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 1.2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $y$ .

$6 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 1.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$6 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 1.2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $y$ .

$6 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Étape 1.2.5

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$6 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Étape 1.2.6

Simplifiez

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Étape 1.2.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$(6 x^{2} + 6 y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Étape 1.2.6.2

Réorganisez les facteurs de $(6 x^{2} + 6 y^{2}) (2 x + 2 y y')$ .

$(2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2})$

Étape 1.3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 1.3.1

Différenciez.

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Étape 1.3.1.1

Comme $100$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $100 (x^{2} - y^{2})$ par rapport à $x$ est $100 \frac{d}{d x} [x^{2} - y^{2}]$ .

$100 \frac{d}{d x} [x^{2} - y^{2}]$

Étape 1.3.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$100 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

Étape 1.3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$100 (2 x + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

Étape 1.3.1.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$100 (2 x - \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$100 (2 x - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]))$

Étape 1.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$100 (2 x - (2 u \frac{d}{d x} [y]))$

Étape 1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$100 (2 x - (2 y \frac{d}{d x} [y]))$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$100 (2 x - 2 (y \frac{d}{d x} [y]))$

Étape 1.3.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$100 (2 x - 2 y y')$

Étape 1.3.5

Simplifiez

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Étape 1.3.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$100 (2 x) + 100 (- 2 y y')$

Étape 1.3.5.2

Associez des termes.

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Étape 1.3.5.2.1

Multipliez $2$ par $100$ .

$200 x + 100 (- 2 y y')$

Étape 1.3.5.2.2

Multipliez $- 2$ par $100$ .

$200 x - 200 y y'$

Étape 1.3.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 200 y y' + 200 x$

Étape 1.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$(2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2}) = - 200 y y' + 200 x$

Étape 1.5

Résolvez $y'$ .

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Étape 1.5.1

Simplifiez $(2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2})$ .

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Étape 1.5.1.1

Réécrivez.

$0 + 0 + (2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2}) = - 200 y y' + 200 x$

Étape 1.5.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$(2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2}) = - 200 y y' + 200 x$

Étape 1.5.1.3

Développez $(2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.5.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x (6 x^{2} + 6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2} + 6 y^{2}) = - 200 y y' + 200 x$

Étape 1.5.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 x (6 x^{2}) + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2} + 6 y^{2}) = - 200 y y' + 200 x$

Étape 1.5.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x (6 x^{2}) + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = - 200 y y' + 200 x$

Étape 1.5.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.1.4.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \cdot 6 x \cdot x^{2} + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = - 200 y y' + 200 x$

Étape 1.5.1.4.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.1.4.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$2 \cdot 6 (x^{2} x) + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = - 200 y y' + 200 x$

Étape 1.5.1.4.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 1.5.1.4.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 \cdot 6 (x^{2} x^{1}) + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = - 200 y y' + 200 x$

Étape 1.5.1.4.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \cdot 6 x^{2 + 1} + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = - 200 y y' + 200 x$

Étape 1.5.1.4.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$2 \cdot 6 x^{3} + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = - 200 y y' + 200 x$

Étape 1.5.1.4.3

Multipliez $2$ par $6$ .

$12 x^{3} + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = - 200 y y' + 200 x$

Étape 1.5.1.4.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$12 x^{3} + 2 \cdot 6 x y^{2} + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = - 200 y y' + 200 x$

Étape 1.5.1.4.5

Multipliez $2$ par $6$ .

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = - 200 y y' + 200 x$

Étape 1.5.1.4.6

Multipliez $6$ par $2$ .

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 2 y y' (6 y^{2}) = - 200 y y' + 200 x$

Étape 1.5.1.4.7

Multipliez $y$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.1.4.7.1

Déplacez $y^{2}$ .

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y) y' \cdot 6 = - 200 y y' + 200 x$

Étape 1.5.1.4.7.2

Multipliez $y^{2}$ par $y$ .

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Étape 1.5.1.4.7.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y^{1}) y' \cdot 6 = - 200 y y' + 200 x$

Étape 1.5.1.4.7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 2 y^{2 + 1} y' \cdot 6 = - 200 y y' + 200 x$

Étape 1.5.1.4.7.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 2 y^{3} y' \cdot 6 = - 200 y y' + 200 x$

Étape 1.5.1.4.8

Multipliez $6$ par $2$ .

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 12 y^{3} y' = - 200 y y' + 200 x$

Étape 1.5.2

Ajoutez $200 y y'$ aux deux côtés de l’équation.

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 12 y^{3} y' + 200 y y' = 200 x$

Étape 1.5.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.5.3.1

Soustrayez $12 x^{3}$ des deux côtés de l’équation.

$12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 12 y^{3} y' + 200 y y' = 200 x - 12 x^{3}$

Étape 1.5.3.2

Soustrayez $12 x y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$12 y y' x^{2} + 12 y^{3} y' + 200 y y' = 200 x - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

Étape 1.5.4

Factorisez $4 y y'$ à partir de $12 y y' x^{2} + 12 y^{3} y' + 200 y y'$ .

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Étape 1.5.4.1

Factorisez $4 y y'$ à partir de $12 y y' x^{2}$ .

$4 y y' (3 x^{2}) + 12 y^{3} y' + 200 y y' = 200 x - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

Étape 1.5.4.2

Factorisez $4 y y'$ à partir de $12 y^{3} y'$ .

$4 y y' (3 x^{2}) + 4 y y' (3 y^{2}) + 200 y y' = 200 x - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

Étape 1.5.4.3

Factorisez $4 y y'$ à partir de $200 y y'$ .

$4 y y' (3 x^{2}) + 4 y y' (3 y^{2}) + 4 y y' \cdot 50 = 200 x - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

Étape 1.5.4.4

Factorisez $4 y y'$ à partir de $4 y y' (3 x^{2}) + 4 y y' (3 y^{2})$ .

$4 y y' (3 x^{2} + 3 y^{2}) + 4 y y' \cdot 50 = 200 x - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

Étape 1.5.4.5

Factorisez $4 y y'$ à partir de $4 y y' (3 x^{2} + 3 y^{2}) + 4 y y' \cdot 50$ .

$4 y y' (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50) = 200 x - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

Étape 1.5.5

Divisez chaque terme dans $4 y y' (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50) = 200 x - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$ par $4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)$ et simplifiez.

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Étape 1.5.5.1

Divisez chaque terme dans $4 y y' (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50) = 200 x - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$ par $4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)$ .

$\frac{4 y y' (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} = \frac{200 x}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Étape 1.5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

Étape 1.5.5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y y' (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} = \frac{200 x}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Étape 1.5.5.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.5.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

Étape 1.5.5.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}{3 x^{2} + 3 y^{2} + 50} = \frac{200 x}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Étape 1.5.5.2.3

Annulez le facteur commun de $3 x^{2} + 3 y^{2} + 50$ .

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Étape 1.5.5.2.3.1

Annulez le facteur commun.

Étape 1.5.5.2.3.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{200 x}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Étape 1.5.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.5.3.1.1

Annulez le facteur commun à $200$ et $4$ .

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Étape 1.5.5.3.1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $200 x$ .

$y' = \frac{4 (50 x)}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Étape 1.5.5.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.5.3.1.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)$ .

$y' = \frac{4 (50 x)}{4 (y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50))} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Étape 1.5.5.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{4 (50 x)}{4 (y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50))} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Étape 1.5.5.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{50 x}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Étape 1.5.5.3.1.2

Annulez le facteur commun à $- 12$ et $4$ .

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Étape 1.5.5.3.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $- 12 x^{3}$ .

$y' = \frac{50 x}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{4 (- 3 x^{3})}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Étape 1.5.5.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.5.3.1.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)$ .

$y' = \frac{50 x}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{4 (- 3 x^{3})}{4 (y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50))} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Étape 1.5.5.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{50 x}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{4 (- 3 x^{3})}{4 (y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50))} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Étape 1.5.5.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{50 x}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{- 3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Étape 1.5.5.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{50 x}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Étape 1.5.5.3.1.4

Annulez le facteur commun à $- 12$ et $4$ .

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Étape 1.5.5.3.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $- 12 x y^{2}$ .

$y' = \frac{50 x}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{4 (- 3 x y^{2})}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Étape 1.5.5.3.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.5.3.1.4.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)$ .

$y' = \frac{50 x}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{4 (- 3 x y^{2})}{4 (y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50))}$

Étape 1.5.5.3.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{50 x}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{4 (- 3 x y^{2})}{4 (y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50))}$

Étape 1.5.5.3.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{50 x}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{- 3 x y^{2}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Étape 1.5.5.3.1.5

Annulez le facteur commun à $y^{2}$ et $y$ .

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Étape 1.5.5.3.1.5.1

Factorisez $y$ à partir de $- 3 x y^{2}$ .

$y' = \frac{50 x}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{y (- 3 x y)}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Étape 1.5.5.3.1.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.5.3.1.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{50 x}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{y (- 3 x y)}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Étape 1.5.5.3.1.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{50 x}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{- 3 x y}{3 x^{2} + 3 y^{2} + 50}$

Étape 1.5.5.3.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{50 x}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} - \frac{3 x y}{3 x^{2} + 3 y^{2} + 50}$

Étape 1.5.5.3.2

Pour écrire $- \frac{3 x y}{3 x^{2} + 3 y^{2} + 50}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{50 x}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} - \frac{3 x y}{3 x^{2} + 3 y^{2} + 50} \cdot \frac{y}{y}$

Étape 1.5.5.3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.5.5.3.3.1

Multipliez $\frac{3 x y}{3 x^{2} + 3 y^{2} + 50}$ par $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{50 x}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} - \frac{3 x y \cdot y}{(3 x^{2} + 3 y^{2} + 50) y}$

Étape 1.5.5.3.3.2

Réorganisez les facteurs de $(3 x^{2} + 3 y^{2} + 50) y$ .

$y' = - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{50 x}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} - \frac{3 x y \cdot y}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Étape 1.5.5.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{50 x - 3 x y \cdot y}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Étape 1.5.5.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- 3 x^{3} + 50 x - 3 x y \cdot y}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Étape 1.5.5.3.6

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.5.3.6.1

Déplacez $y$ .

$y' = \frac{- 3 x^{3} + 50 x - 3 x (y \cdot y)}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Étape 1.5.5.3.6.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$y' = \frac{- 3 x^{3} + 50 x - 3 x y^{2}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Étape 1.5.5.3.7

Factorisez $x$ à partir de $- 3 x^{3} + 50 x - 3 x y^{2}$ .

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Étape 1.5.5.3.7.1

Factorisez $x$ à partir de $- 3 x^{3}$ .

$y' = \frac{x (- 3 x^{2}) + 50 x - 3 x y^{2}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Étape 1.5.5.3.7.2

Factorisez $x$ à partir de $50 x$ .

$y' = \frac{x (- 3 x^{2}) + x \cdot 50 - 3 x y^{2}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Étape 1.5.5.3.7.3

Factorisez $x$ à partir de $- 3 x y^{2}$ .

$y' = \frac{x (- 3 x^{2}) + x \cdot 50 + x (- 3 y^{2})}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Étape 1.5.5.3.7.4

Factorisez $x$ à partir de $x (- 3 x^{2}) + x \cdot 50$ .

$y' = \frac{x (- 3 x^{2} + 50) + x (- 3 y^{2})}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Étape 1.5.5.3.7.5

Factorisez $x$ à partir de $x (- 3 x^{2} + 50) + x (- 3 y^{2})$ .

$y' = \frac{x (- 3 x^{2} + 50 - 3 y^{2})}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Étape 1.5.5.3.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{x (- (3 x^{2}) + 50 - 3 y^{2})}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Étape 1.5.5.3.9

Réécrivez $50$ comme $- 1 (- 50)$ .

$y' = \frac{x (- (3 x^{2}) - 1 (- 50) - 3 y^{2})}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Étape 1.5.5.3.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{2}) - 1 (- 50)$ .

$y' = \frac{x (- (3 x^{2} - 50) - 3 y^{2})}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Étape 1.5.5.3.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 y^{2}$ .

$y' = \frac{x (- (3 x^{2} - 50) - (3 y^{2}))}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Étape 1.5.5.3.12

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{2} - 50) - (3 y^{2})$ .

$y' = \frac{x (- (3 x^{2} - 50 + 3 y^{2}))}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Étape 1.5.5.3.13

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.5.5.3.13.1

Réécrivez $- (3 x^{2} - 50 + 3 y^{2})$ comme $- 1 (3 x^{2} - 50 + 3 y^{2})$ .

$y' = \frac{x (- 1 (3 x^{2} - 50 + 3 y^{2}))}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Étape 1.5.5.3.13.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{x (3 x^{2} - 50 + 3 y^{2})}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Étape 1.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (3 x^{2} - 50 + 3 y^{2})}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Étape 1.7

Évaluez sur $x = 4$ sur $y = 2$ .

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Étape 1.7.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$- \frac{(4) (3 {(4)}^{2} - 50 + 3 y^{2})}{y (3 {(4)}^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Étape 1.7.2

Remplacez la variable $y$ par $2$ dans l’expression.

$- \frac{(4) (3 {(4)}^{2} - 50 + 3 {(2)}^{2})}{(2) (3 {(4)}^{2} + 3 {(2)}^{2} + 50)}$

Étape 1.7.3

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 1.7.3.1

Factorisez $2$ à partir de $(4) (3 {(4)}^{2} - 50 + 3 {(2)}^{2})$ .

$- \frac{2 ((2) (3 {(4)}^{2} - 50 + 3 {(2)}^{2}))}{(2) (3 {(4)}^{2} + 3 {(2)}^{2} + 50)}$

Étape 1.7.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.7.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2 ((2) (3 {(4)}^{2} - 50 + 3 {(2)}^{2}))}{2 (3 {(4)}^{2} + 3 {(2)}^{2} + 50)}$

Étape 1.7.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{(2) (3 {(4)}^{2} - 50 + 3 {(2)}^{2})}{3 {(4)}^{2} + 3 {(2)}^{2} + 50}$

Étape 1.7.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.7.4.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$- \frac{2 (3 \cdot 16 - 50 + 3 \cdot 2^{2})}{3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 2^{2} + 50}$

Étape 1.7.4.2

Multipliez $3$ par $16$ .

$- \frac{2 (48 - 50 + 3 \cdot 2^{2})}{3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 2^{2} + 50}$

Étape 1.7.4.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- \frac{2 (48 - 50 + 3 \cdot 4)}{3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 2^{2} + 50}$

Étape 1.7.4.4

Multipliez $3$ par $4$ .

$- \frac{2 (48 - 50 + 12)}{3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 2^{2} + 50}$

Étape 1.7.4.5

Soustrayez $50$ de $48$ .

$- \frac{2 (- 2 + 12)}{3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 2^{2} + 50}$

Étape 1.7.4.6

Additionnez $- 2$ et $12$ .

$- \frac{2 \cdot 10}{3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 2^{2} + 50}$

Étape 1.7.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.7.5.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$- \frac{2 \cdot 10}{3 \cdot 16 + 3 \cdot 2^{2} + 50}$

Étape 1.7.5.2

Multipliez $3$ par $16$ .

$- \frac{2 \cdot 10}{48 + 3 \cdot 2^{2} + 50}$

Étape 1.7.5.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- \frac{2 \cdot 10}{48 + 3 \cdot 4 + 50}$

Étape 1.7.5.4

Multipliez $3$ par $4$ .

$- \frac{2 \cdot 10}{48 + 12 + 50}$

Étape 1.7.5.5

Additionnez $48$ et $12$ .

$- \frac{2 \cdot 10}{60 + 50}$

Étape 1.7.5.6

Additionnez $60$ et $50$ .

$- \frac{2 \cdot 10}{110}$

Étape 1.7.6

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 1.7.6.1

Multipliez $2$ par $10$ .

$- \frac{20}{110}$

Étape 1.7.6.2

Annulez le facteur commun à $20$ et $110$ .

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Étape 1.7.6.2.1

Factorisez $10$ à partir de $20$ .

$- \frac{10 (2)}{110}$

Étape 1.7.6.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.7.6.2.2.1

Factorisez $10$ à partir de $110$ .

$- \frac{10 \cdot 2}{10 \cdot 11}$

Étape 1.7.6.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{10 \cdot 2}{10 \cdot 11}$

Étape 1.7.6.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{2}{11}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $- \frac{2}{11}$ et un point donné, tel que $(4, 2)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = - \frac{2}{11} \cdot (x - (4))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 2 = - \frac{2}{11} \cdot (x - 4)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $- \frac{2}{11} \cdot (x - 4)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 2 = 0 + 0 - \frac{2}{11} \cdot (x - 4)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 2 = - \frac{2}{11} \cdot (x - 4)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 2 = - \frac{2}{11} x - \frac{2}{11} \cdot - 4$

Étape 2.3.1.4

Associez $x$ et $\frac{2}{11}$ .

$y - 2 = - \frac{x \cdot 2}{11} - \frac{2}{11} \cdot - 4$

Étape 2.3.1.5

Multipliez $- \frac{2}{11} \cdot - 4$ .

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Étape 2.3.1.5.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$y - 2 = - \frac{x \cdot 2}{11} + 4 (\frac{2}{11})$

Étape 2.3.1.5.2

Associez $4$ et $\frac{2}{11}$ .

$y - 2 = - \frac{x \cdot 2}{11} + \frac{4 \cdot 2}{11}$

Étape 2.3.1.5.3

Multipliez $4$ par $2$ .

$y - 2 = - \frac{x \cdot 2}{11} + \frac{8}{11}$

Étape 2.3.1.6

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$y - 2 = - \frac{2 x}{11} + \frac{8}{11}$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - \frac{2 x}{11} + \frac{8}{11} + 2$

Étape 2.3.2.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{11}{11}$ .

$y = - \frac{2 x}{11} + \frac{8}{11} + 2 \cdot \frac{11}{11}$

Étape 2.3.2.3

Associez $2$ et $\frac{11}{11}$ .

$y = - \frac{2 x}{11} + \frac{8}{11} + \frac{2 \cdot 11}{11}$

Étape 2.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = - \frac{2 x}{11} + \frac{8 + 2 \cdot 11}{11}$

Étape 2.3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.2.5.1

Multipliez $2$ par $11$ .

$y = - \frac{2 x}{11} + \frac{8 + 22}{11}$

Étape 2.3.2.5.2

Additionnez $8$ et $22$ .

$y = - \frac{2 x}{11} + \frac{30}{11}$

Étape 2.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 2.3.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - (\frac{2}{11} x) + \frac{30}{11}$

Étape 2.3.3.2

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{2}{11} x + \frac{30}{11}$

Étape 3