Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$ ; $x = 2$

Étape 1

Déterminez la valeur $y$ correspondant à $x = 2$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $2$ .

$y = \frac{1}{{({(2)}^{2} - 1)}^{3}}$

Étape 1.2

Résolvez $y$ .

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Étape 1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{1}{{(2^{2} - 1)}^{3}}$

Étape 1.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{1}{{({(2)}^{2} - 1)}^{3}}$

Étape 1.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.3.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{1}{{(4 - 1)}^{3}}$

Étape 1.2.3.2

Soustrayez $1$ de $4$ .

$y = \frac{1}{3^{3}}$

Étape 1.2.3.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$y = \frac{1}{27}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 2$ et $y = \frac{1}{27}$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.1.1

Réécrivez $\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$ comme ${({(x^{2} - 1)}^{3})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(x^{2} - 1)}^{3})}^{- 1}]$

Étape 2.1.2

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} - 1)}^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 2.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{3 \cdot - 1}]$

Étape 2.1.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{- 3}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 3}$ et $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 3$ .

$- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 1$ .

$- 3 {(x^{2} - 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- 3 {(x^{2} - 1)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 3 {(x^{2} - 1)}^{- 4} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 2.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 3 {(x^{2} - 1)}^{- 4} (2 x + 0)$

Étape 2.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$- 3 {(x^{2} - 1)}^{- 4} (2 x)$

Étape 2.3.4.2

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$- 6 {(x^{2} - 1)}^{- 4} x$

Étape 2.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 6 \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{4}} x$

Étape 2.5

Associez des termes.

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Étape 2.5.1

Associez $- 6$ et $\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$ .

$\frac{- 6}{{(x^{2} - 1)}^{4}} x$

Étape 2.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{6}{{(x^{2} - 1)}^{4}} x$

Étape 2.5.3

Associez $x$ et $\frac{6}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$ .

$- \frac{x \cdot 6}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.5.4

Déplacez $6$ à gauche de $x$ .

$- \frac{6 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.6

Évaluez la dérivée sur $x = 2$ .

$- \frac{6 (2)}{{({(2)}^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.7

Simplifiez

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Étape 2.7.1

Multipliez $6$ par $2$ .

$- \frac{12}{{(2^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.7.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.7.2.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- \frac{12}{{(4 - 1)}^{4}}$

Étape 2.7.2.2

Soustrayez $1$ de $4$ .

$- \frac{12}{3^{4}}$

Étape 2.7.2.3

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$- \frac{12}{81}$

Étape 2.7.3

Annulez le facteur commun à $12$ et $81$ .

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Étape 2.7.3.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$- \frac{3 (4)}{81}$

Étape 2.7.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.7.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $81$ .

$- \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 27}$

Étape 2.7.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 27}$

Étape 2.7.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{4}{27}$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $- \frac{4}{27}$ et un point donné, tel que $(2, \frac{1}{27})$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{27}) = - \frac{4}{27} \cdot (x - (2))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - \frac{1}{27} = - \frac{4}{27} \cdot (x - 2)$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Simplifiez $- \frac{4}{27} \cdot (x - 2)$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez.

$y - \frac{1}{27} = 0 + 0 - \frac{4}{27} \cdot (x - 2)$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - \frac{1}{27} = - \frac{4}{27} \cdot (x - 2)$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - \frac{1}{27} = - \frac{4}{27} x - \frac{4}{27} \cdot - 2$

Étape 3.3.1.4

Associez $x$ et $\frac{4}{27}$ .

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x \cdot 4}{27} - \frac{4}{27} \cdot - 2$

Étape 3.3.1.5

Multipliez $- \frac{4}{27} \cdot - 2$ .

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Étape 3.3.1.5.1

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x \cdot 4}{27} + 2 (\frac{4}{27})$

Étape 3.3.1.5.2

Associez $2$ et $\frac{4}{27}$ .

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x \cdot 4}{27} + \frac{2 \cdot 4}{27}$

Étape 3.3.1.5.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x \cdot 4}{27} + \frac{8}{27}$

Étape 3.3.1.6

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$y - \frac{1}{27} = - \frac{4 x}{27} + \frac{8}{27}$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Ajoutez $\frac{1}{27}$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - \frac{4 x}{27} + \frac{8}{27} + \frac{1}{27}$

Étape 3.3.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{- 4 x + 8 + 1}{27}$

Étape 3.3.2.3

Additionnez $8$ et $1$ .

$y = \frac{- 4 x + 9}{27}$

Étape 3.3.2.4

Divisez la fraction $\frac{- 4 x + 9}{27}$ en deux fractions.

$y = \frac{- 4 x}{27} + \frac{9}{27}$

Étape 3.3.2.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.5.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{4 x}{27} + \frac{9}{27}$

Étape 3.3.2.5.2

Annulez le facteur commun à $9$ et $27$ .

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Étape 3.3.2.5.2.1

Factorisez $9$ à partir de $9$ .

$y = - \frac{4 x}{27} + \frac{9 (1)}{27}$

Étape 3.3.2.5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.2.5.2.2.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$y = - \frac{4 x}{27} + \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 3}$

Étape 3.3.2.5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{4 x}{27} + \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 3}$

Étape 3.3.2.5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{4 x}{27} + \frac{1}{3}$

Étape 3.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 3.3.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - (\frac{4}{27} x) + \frac{1}{3}$

Étape 3.3.3.2

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{4}{27} x + \frac{1}{3}$

Étape 4