Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$ ; $x = 2$

Étape 1

Déterminez la valeur $y$ correspondant à $x = 2$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $2$ .

$y = (2) {({(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)}^{8}$

Étape 1.2

Résolvez $y$ .

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Étape 1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 2 {(2^{2} - 4 \cdot 2 + 5)}^{8}$

Étape 1.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = (2) {({(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)}^{8}$

Étape 1.2.3

Simplifiez $(2) {({(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)}^{8}$ .

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Étape 1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.3.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = 2 {(4 - 4 \cdot 2 + 5)}^{8}$

Étape 1.2.3.1.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$y = 2 {(4 - 8 + 5)}^{8}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.3.2.1

Soustrayez $8$ de $4$ .

$y = 2 {(- 4 + 5)}^{8}$

Étape 1.2.3.2.2

Additionnez $- 4$ et $5$ .

$y = 2 \cdot 1^{8}$

Étape 1.2.3.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = 2 \cdot 1$

Étape 1.2.3.2.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = 2$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 2$ et $y = 2$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}] + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{8}$ et $g (x) = x^{2} - 4 x + 5$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 4 x + 5$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{8}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 5]) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 8$ .

$x (8 u^{7} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 5]) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 4 x + 5$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 5]) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 4 x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5])) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5])) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.3

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.5

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4 + \frac{d}{d x} [5])) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.6

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4 + 0)) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.7

Additionnez $2 x - 4$ et $0$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4)) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4)) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \cdot 1$

Étape 2.3.9

Multipliez ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$ par $1$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4)) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$

Étape 2.4

Factorisez ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7}$ à partir de $x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4)) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$ .

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Étape 2.4.1

Factorisez ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7}$ à partir de $x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4))$ .

${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (x (8 (2 x - 4))) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$

Étape 2.4.2

Factorisez ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7}$ à partir de ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$ .

${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (x (8 (2 x - 4))) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (x^{2} - 4 x + 5)$

Étape 2.4.3

Factorisez ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7}$ à partir de ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (x (8 (2 x - 4))) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (x^{2} - 4 x + 5)$ .

${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (x (8 (2 x - 4)) + x^{2} - 4 x + 5)$

Étape 2.5

Évaluez la dérivée sur $x = 2$ .

${({(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)}^{7} ((2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

Étape 2.6

Simplifiez

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Étape 2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.6.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

${(4 - 4 \cdot 2 + 5)}^{7} ((2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

Étape 2.6.1.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

${(4 - 8 + 5)}^{7} ((2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

Étape 2.6.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.6.2.1

Soustrayez $8$ de $4$ .

${(- 4 + 5)}^{7} ((2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

Étape 2.6.2.2

Additionnez $- 4$ et $5$ .

$1^{7} ((2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

Étape 2.6.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 ((2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

Étape 2.6.2.4

Multipliez $(2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5$ par $1$ .

$(2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5$

Étape 2.6.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.6.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 (8 (4 - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5$

Étape 2.6.3.2

Soustrayez $4$ de $4$ .

$2 (8 \cdot 0) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5$

Étape 2.6.3.3

Multipliez $2 (8 \cdot 0)$ .

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Étape 2.6.3.3.1

Multipliez $8$ par $0$ .

$2 \cdot 0 + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5$

Étape 2.6.3.3.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$0 + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5$

Étape 2.6.3.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$0 + 4 - 4 \cdot 2 + 5$

Étape 2.6.3.5

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$0 + 4 - 8 + 5$

Étape 2.6.4

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.6.4.1

Additionnez $0$ et $4$ .

$4 - 8 + 5$

Étape 2.6.4.2

Soustrayez $8$ de $4$ .

$- 4 + 5$

Étape 2.6.4.3

Additionnez $- 4$ et $5$ .

$1$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $1$ et un point donné, tel que $(2, 2)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = 1 \cdot (x - (2))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 2 = 1 \cdot (x - 2)$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Multipliez $x - 2$ par $1$ .

$y - 2 = x - 2$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$y = x - 2 + 2$

Étape 3.3.2.2

Associez les termes opposés dans $x - 2 + 2$ .

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Étape 3.3.2.2.1

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$y = x + 0$

Étape 3.3.2.2.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$y = x$

Étape 4