Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{1 + x^{2}}$ , $(1, \frac{1}{2})$

Étape 1

Écrivez $\frac{1}{1 + x^{2}}$ comme une équation.

$y = \frac{1}{1 + x^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 1$ et $y = \frac{1}{2}$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Réécrivez $\frac{1}{1 + x^{2}}$ comme ${(1 + x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{- 1}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = 1 + x^{2}$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + x^{2}$ .

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.3.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} (2 x)$

Étape 2.3.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 {(1 + x^{2})}^{- 2} x$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}} x$

Étape 2.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.4.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(1 + x^{2})}^{2}} x$

Étape 2.4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{{(1 + x^{2})}^{2}} x$

Étape 2.4.2.3

Associez $x$ et $\frac{2}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 2}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.4.2.4

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$- \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.5

Évaluez la dérivée sur $x = 1$ .

$- \frac{2 (1)}{{(1 + {(1)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.6

Simplifiez

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Étape 2.6.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$- \frac{2}{{(1 + 1^{2})}^{2}}$

Étape 2.6.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.6.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{2}{{(1 + 1)}^{2}}$

Étape 2.6.2.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{2}{2^{2}}$

Étape 2.6.2.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- \frac{2}{4}$

Étape 2.6.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 2.6.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{2 (1)}{4}$

Étape 2.6.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.6.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Étape 2.6.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Étape 2.6.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{2}$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $- \frac{1}{2}$ et un point donné, tel que $(1, \frac{1}{2})$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} \cdot (x - (1))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Simplifiez $- \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez.

$y - \frac{1}{2} = 0 + 0 - \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot - 1$

Étape 3.3.1.4

Associez $x$ et $\frac{1}{2}$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 1$

Étape 3.3.1.5

Multipliez $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ .

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Étape 3.3.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

Étape 3.3.1.5.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Ajoutez $\frac{1}{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 3.3.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{- x + 1 + 1}{2}$

Étape 3.3.2.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \frac{- x + 2}{2}$

Étape 3.3.2.4

Divisez la fraction $\frac{- x + 2}{2}$ en deux fractions.

$y = \frac{- x}{2} + \frac{2}{2}$

Étape 3.3.2.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.5.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{x}{2} + \frac{2}{2}$

Étape 3.3.2.5.2

Divisez $2$ par $2$ .

$y = - \frac{x}{2} + 1$

Étape 3.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 3.3.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - (\frac{1}{2} x) + 1$

Étape 3.3.3.2

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{1}{2} x + 1$

Étape 4