Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{2} x \ln (x^{4})$ , $(- 1, 0)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = - 1$ et $y = 0$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1.1

Associez $x$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2} \cdot \ln (x^{4})]$

Étape 1.1.2

Associez $\frac{x}{2}$ et $\ln (x^{4})$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x \ln (x^{4})}{2}]$

Étape 1.1.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x \ln (x^{4})}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{4})]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{4})]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \ln (x^{4})$ .

$\frac{1}{2} (x \frac{d}{d x} [\ln (x^{4})] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{4}$ .

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Étape 1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{4}$ .

$\frac{1}{2} (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{2} (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{4}$ .

$\frac{1}{2} (x (\frac{1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.4.1

Associez $\frac{1}{x^{4}}$ et $x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{4}$ .

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Étape 1.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x^{1}}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x \cdot 1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4.2.3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.2.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{x^{3}} (4 x^{3}) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4.4

Simplifiez les termes.

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Étape 1.4.4.1

Associez $4$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4}{x^{3}} x^{3} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4.4.2

Associez $\frac{4}{x^{3}}$ et $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4.4.3

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

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Étape 1.4.4.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} (\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4.4.3.2

Divisez $4$ par $1$ .

$\frac{1}{2} (4 + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (4 + \ln (x^{4}) \cdot 1)$

Étape 1.4.6

Multipliez $\ln (x^{4})$ par $1$ .

$\frac{1}{2} (4 + \ln (x^{4}))$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} \cdot 4 + \frac{1}{2} \ln (x^{4})$

Étape 1.5.2

Associez des termes.

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Étape 1.5.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$\frac{4}{2} + \frac{1}{2} \ln (x^{4})$

Étape 1.5.2.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 1.5.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2} \ln (x^{4})$

Étape 1.5.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} + \frac{1}{2} \ln (x^{4})$

Étape 1.5.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} + \frac{1}{2} \ln (x^{4})$

Étape 1.5.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{1} + \frac{1}{2} \ln (x^{4})$

Étape 1.5.2.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{1}{2} \ln (x^{4})$

Étape 1.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} \ln (x^{4}) + 2$

Étape 1.5.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.4.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (x^{4})$ .

$\frac{\ln (x^{4})}{2} + 2$

Étape 1.5.4.2

Développez $\ln (x^{4})$ en déplaçant $4$ hors du logarithme.

$\frac{4 \ln (x)}{2} + 2$

Étape 1.5.4.3

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 1.5.4.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4 \ln (x)$ .

$\frac{2 (2 \ln (x))}{2} + 2$

Étape 1.5.4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.4.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (2 \ln (x))}{2 (1)} + 2$

Étape 1.5.4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (2 \ln (x))}{2 \cdot 1} + 2$

Étape 1.5.4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \ln (x)}{1} + 2$

Étape 1.5.4.3.2.4

Divisez $2 \ln (x)$ par $1$ .

$2 \ln (x) + 2$

Étape 1.6

Évaluez la dérivée sur $x = - 1$ .

$2 \ln (- 1) + 2$

Étape 1.7

Le logarithme naturel d’un nombre négatif est indéfini.

Indéfini

Étape 2

La pente de la droite est indéfinie, ce qui signifie qu’elle est perpendiculaire à l’abscisse sur $x = - 1$ .

$x = - 1$

Étape 3