Calcul infinitésimal Exemples

$g (x) = 3 e^{- 5 x}$ at the point $(0, 3)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 0$ et $y = 3$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 e^{- 5 x}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 5 x$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 5 x$ .

$3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$3 (e^{u} \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 5 x$ .

$3 (e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.2

Multipliez $- 5$ par $3$ .

$- 15 e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 15 e^{- 5 x} \cdot 1$

Étape 1.3.4

Multipliez $- 15$ par $1$ .

$- 15 e^{- 5 x}$

Étape 1.4

Évaluez la dérivée sur $x = 0$ .

$- 15 e^{- 5 \cdot 0}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Multipliez $- 5$ par $0$ .

$- 15 e^{0}$

Étape 1.5.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$- 15 \cdot 1$

Étape 1.5.3

Multipliez $- 15$ par $1$ .

$- 15$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $- 15$ et un point donné, tel que $(0, 3)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = - 15 \cdot (x - (0))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 3 = - 15 \cdot (x + 0)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Additionnez $x$ et $0$ .

$y - 3 = - 15 x$

Étape 2.3.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - 15 x + 3$

Étape 3