Calcul infinitésimal Exemples

$2 {(x^{2} + y^{2})}^{2} = 25 x y^{2}$ ; $(2, 1)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 2$ et $y = 1$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (2 {(x^{2} + y^{2})}^{2}) = \frac{d}{d x} (25 x y^{2})$

Étape 1.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 {(x^{2} + y^{2})}^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

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Étape 1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{2} + y^{2}$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Étape 1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{2} + y^{2}$ .

$2 (2 (x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Étape 1.2.3

Différenciez.

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Étape 1.2.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 ((x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Étape 1.2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Étape 1.2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Étape 1.2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 1.2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $y$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 1.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 1.2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $y$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Étape 1.2.5

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Étape 1.2.6

Simplifiez

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Étape 1.2.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$(4 x^{2} + 4 y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Étape 1.2.6.2

Réorganisez les facteurs de $(4 x^{2} + 4 y^{2}) (2 x + 2 y y')$ .

$(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2})$

Étape 1.3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 1.3.1

Comme $25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $25 x y^{2}$ par rapport à $x$ est $25 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$25 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y^{2}$ .

$25 (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 1.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$25 (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$25 (x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$25 (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.4

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$25 (2 \cdot x y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.5

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$25 (2 x y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$25 (2 x y y' + y^{2} \cdot 1)$

Étape 1.3.7

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$25 (2 x y y' + y^{2})$

Étape 1.3.8

Simplifiez

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Étape 1.3.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$25 (2 x y y') + 25 y^{2}$

Étape 1.3.8.2

Multipliez $2$ par $25$ .

$50 x y y' + 25 y^{2}$

Étape 1.3.8.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$25 y^{2} + 50 x y y'$

Étape 1.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2}) = 25 y^{2} + 50 x y y'$

Étape 1.5

Résolvez $y'$ .

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Étape 1.5.1

Simplifiez $(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2})$ .

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Étape 1.5.1.1

Réécrivez.

$0 + 0 + (2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2}) = 25 y^{2} + 50 x y y'$

Étape 1.5.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2}) = 25 y^{2} + 50 x y y'$

Étape 1.5.1.3

Développez $(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.5.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x (4 x^{2} + 4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) = 25 y^{2} + 50 x y y'$

Étape 1.5.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 x (4 x^{2}) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) = 25 y^{2} + 50 x y y'$

Étape 1.5.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x (4 x^{2}) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = 25 y^{2} + 50 x y y'$

Étape 1.5.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.1.4.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \cdot 4 x \cdot x^{2} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = 25 y^{2} + 50 x y y'$

Étape 1.5.1.4.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.1.4.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$2 \cdot 4 (x^{2} x) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = 25 y^{2} + 50 x y y'$

Étape 1.5.1.4.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 1.5.1.4.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 \cdot 4 (x^{2} x^{1}) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = 25 y^{2} + 50 x y y'$

Étape 1.5.1.4.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \cdot 4 x^{2 + 1} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = 25 y^{2} + 50 x y y'$

Étape 1.5.1.4.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$2 \cdot 4 x^{3} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = 25 y^{2} + 50 x y y'$

Étape 1.5.1.4.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$8 x^{3} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = 25 y^{2} + 50 x y y'$

Étape 1.5.1.4.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$8 x^{3} + 2 \cdot 4 x y^{2} + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = 25 y^{2} + 50 x y y'$

Étape 1.5.1.4.5

Multipliez $2$ par $4$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = 25 y^{2} + 50 x y y'$

Étape 1.5.1.4.6

Multipliez $4$ par $2$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 y y' (4 y^{2}) = 25 y^{2} + 50 x y y'$

Étape 1.5.1.4.7

Multipliez $y$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.1.4.7.1

Déplacez $y^{2}$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y) y' \cdot 4 = 25 y^{2} + 50 x y y'$

Étape 1.5.1.4.7.2

Multipliez $y^{2}$ par $y$ .

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Étape 1.5.1.4.7.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y^{1}) y' \cdot 4 = 25 y^{2} + 50 x y y'$

Étape 1.5.1.4.7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 y^{2 + 1} y' \cdot 4 = 25 y^{2} + 50 x y y'$

Étape 1.5.1.4.7.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 y^{3} y' \cdot 4 = 25 y^{2} + 50 x y y'$

Étape 1.5.1.4.8

Multipliez $4$ par $2$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' = 25 y^{2} + 50 x y y'$

Étape 1.5.2

Soustrayez $50 x y y'$ des deux côtés de l’équation.

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' - 50 x y y' = 25 y^{2}$

Étape 1.5.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.5.3.1

Soustrayez $8 x^{3}$ des deux côtés de l’équation.

$8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' - 50 x y y' = 25 y^{2} - 8 x^{3}$

Étape 1.5.3.2

Soustrayez $8 x y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' - 50 x y y' = 25 y^{2} - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Étape 1.5.4

Factorisez $2 y y'$ à partir de $8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' - 50 x y y'$ .

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Étape 1.5.4.1

Factorisez $2 y y'$ à partir de $8 y y' x^{2}$ .

$2 y y' (4 x^{2}) + 8 y^{3} y' - 50 x y y' = 25 y^{2} - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Étape 1.5.4.2

Factorisez $2 y y'$ à partir de $8 y^{3} y'$ .

$2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) - 50 x y y' = 25 y^{2} - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Étape 1.5.4.3

Factorisez $2 y y'$ à partir de $- 50 x y y'$ .

$2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) + 2 y y' (- 25 x) = 25 y^{2} - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Étape 1.5.4.4

Factorisez $2 y y'$ à partir de $2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2})$ .

$2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) + 2 y y' (- 25 x) = 25 y^{2} - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Étape 1.5.4.5

Factorisez $2 y y'$ à partir de $2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) + 2 y y' (- 25 x)$ .

$2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x) = 25 y^{2} - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Étape 1.5.5

Divisez chaque terme dans $2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x) = 25 y^{2} - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$ par $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)$ et simplifiez.

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Étape 1.5.5.1

Divisez chaque terme dans $2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x) = 25 y^{2} - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$ par $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)$ .

$\frac{2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} = \frac{25 y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Étape 1.5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

Étape 1.5.5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} = \frac{25 y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Étape 1.5.5.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.5.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

Étape 1.5.5.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}{4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x} = \frac{25 y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Étape 1.5.5.2.3

Annulez le facteur commun de $4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x$ .

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Étape 1.5.5.2.3.1

Annulez le facteur commun.

Étape 1.5.5.2.3.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{25 y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Étape 1.5.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.5.3.1.1

Annulez le facteur commun à $y^{2}$ et $y$ .

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Étape 1.5.5.3.1.1.1

Factorisez $y$ à partir de $25 y^{2}$ .

$y' = \frac{y (25 y)}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Étape 1.5.5.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.5.3.1.1.2.1

Factorisez $y$ à partir de $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)$ .

$y' = \frac{y (25 y)}{y (2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x))} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Étape 1.5.5.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{y (25 y)}{y (2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x))} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Étape 1.5.5.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{25 y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Étape 1.5.5.3.1.2

Annulez le facteur commun à $- 8$ et $2$ .

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Étape 1.5.5.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 8 x^{3}$ .

$y' = \frac{25 y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{2 (- 4 x^{3})}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Étape 1.5.5.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.5.3.1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)$ .

$y' = \frac{25 y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{2 (- 4 x^{3})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x))} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Étape 1.5.5.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{25 y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{2 (- 4 x^{3})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x))} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Étape 1.5.5.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{25 y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Étape 1.5.5.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{25 y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Étape 1.5.5.3.1.4

Annulez le facteur commun à $- 8$ et $2$ .

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Étape 1.5.5.3.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 8 x y^{2}$ .

$y' = \frac{25 y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{2 (- 4 x y^{2})}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Étape 1.5.5.3.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.5.3.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)$ .

$y' = \frac{25 y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{2 (- 4 x y^{2})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x))}$

Étape 1.5.5.3.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{25 y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{2 (- 4 x y^{2})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x))}$

Étape 1.5.5.3.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{25 y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Étape 1.5.5.3.1.5

Annulez le facteur commun à $y^{2}$ et $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.3.1.5.1

Factorisez $y$ à partir de $- 4 x y^{2}$ .

$y' = \frac{25 y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{y (- 4 x y)}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Étape 1.5.5.3.1.5.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.3.1.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{25 y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{y (- 4 x y)}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Étape 1.5.5.3.1.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{25 y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x}$

Étape 1.5.5.3.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{25 y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} - \frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x}$

Étape 1.5.5.3.2

Pour écrire $- \frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{25 y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} - \frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 1.5.5.3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.5.5.3.3.1

Multipliez $\frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x}$ par $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{25 y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} - \frac{4 x y \cdot 2}{(4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x) \cdot 2}$

Étape 1.5.5.3.3.2

Réorganisez les facteurs de $(4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x) \cdot 2$ .

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{25 y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} - \frac{4 x y \cdot 2}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Étape 1.5.5.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{25 y - 4 x y \cdot 2}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Étape 1.5.5.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.5.3.5.1

Factorisez $y$ à partir de $25 y - 4 x y \cdot 2$ .

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Étape 1.5.5.3.5.1.1

Factorisez $y$ à partir de $25 y$ .

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{y \cdot 25 - 4 x y \cdot 2}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Étape 1.5.5.3.5.1.2

Factorisez $y$ à partir de $- 4 x y \cdot 2$ .

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{y \cdot 25 + y (- 4 x \cdot 2)}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Étape 1.5.5.3.5.1.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot 25 + y (- 4 x \cdot 2)$ .

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{y (25 - 4 x \cdot 2)}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Étape 1.5.5.3.5.2

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{y (25 - 8 x)}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Étape 1.5.5.3.6

Pour écrire $- \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} \cdot \frac{2}{2} + \frac{y (25 - 8 x)}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Étape 1.5.5.3.7

Pour écrire $\frac{y (25 - 8 x)}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} \cdot \frac{2}{2} + \frac{y (25 - 8 x)}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} \cdot \frac{y}{y}$

Étape 1.5.5.3.8

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x) \cdot 2$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.5.5.3.8.1

Multipliez $\frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$ par $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{4 x^{3} \cdot 2}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x) \cdot 2} + \frac{y (25 - 8 x)}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} \cdot \frac{y}{y}$

Étape 1.5.5.3.8.2

Multipliez $\frac{y (25 - 8 x)}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$ par $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{4 x^{3} \cdot 2}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x) \cdot 2} + \frac{y (25 - 8 x) y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x) y}$

Étape 1.5.5.3.8.3

Réorganisez les facteurs de $y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x) \cdot 2$ .

$y' = - \frac{4 x^{3} \cdot 2}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{y (25 - 8 x) y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x) y}$

Étape 1.5.5.3.8.4

Réorganisez les facteurs de $2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x) y$ .

$y' = - \frac{4 x^{3} \cdot 2}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{y (25 - 8 x) y}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Étape 1.5.5.3.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- 4 x^{3} \cdot 2 + y (25 - 8 x) y}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Étape 1.5.5.3.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.5.3.10.1

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$y' = \frac{- 8 x^{3} + y (25 - 8 x) y}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Étape 1.5.5.3.10.2

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.5.3.10.2.1

Déplacez $y$ .

$y' = \frac{- 8 x^{3} + y \cdot y (25 - 8 x)}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Étape 1.5.5.3.10.2.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$y' = \frac{- 8 x^{3} + y^{2} (25 - 8 x)}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Étape 1.5.5.3.10.3

Appliquez la propriété distributive.

$y' = \frac{- 8 x^{3} + y^{2} \cdot 25 + y^{2} (- 8 x)}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Étape 1.5.5.3.10.4

Déplacez $25$ à gauche de $y^{2}$ .

$y' = \frac{- 8 x^{3} + 25 \cdot y^{2} + y^{2} (- 8 x)}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Étape 1.5.5.3.10.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y' = \frac{- 8 x^{3} + 25 y^{2} - 8 y^{2} x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Étape 1.5.5.3.11

Simplifiez en factorisant.

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Étape 1.5.5.3.11.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 8 x^{3}$ .

$y' = \frac{- (8 x^{3}) + 25 y^{2} - 8 y^{2} x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Étape 1.5.5.3.11.2

Factorisez $- 1$ à partir de $25 y^{2}$ .

$y' = \frac{- (8 x^{3}) - (- 25 y^{2}) - 8 y^{2} x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Étape 1.5.5.3.11.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (8 x^{3}) - (- 25 y^{2})$ .

$y' = \frac{- (8 x^{3} - 25 y^{2}) - 8 y^{2} x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Étape 1.5.5.3.11.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 8 y^{2} x$ .

$y' = \frac{- (8 x^{3} - 25 y^{2}) - (8 y^{2} x)}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Étape 1.5.5.3.11.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (8 x^{3} - 25 y^{2}) - (8 y^{2} x)$ .

$y' = \frac{- (8 x^{3} - 25 y^{2} + 8 y^{2} x)}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Étape 1.5.5.3.11.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.5.5.3.11.6.1

Réécrivez $- (8 x^{3} - 25 y^{2} + 8 y^{2} x)$ comme $- 1 (8 x^{3} - 25 y^{2} + 8 y^{2} x)$ .

$y' = \frac{- 1 (8 x^{3} - 25 y^{2} + 8 y^{2} x)}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Étape 1.5.5.3.11.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{8 x^{3} - 25 y^{2} + 8 y^{2} x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Étape 1.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{8 x^{3} - 25 y^{2} + 8 y^{2} x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Étape 1.7

Évaluez sur $x = 2$ sur $y = 1$ .

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Étape 1.7.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$- \frac{8 {(2)}^{3} - 25 y^{2} + 8 y^{2} (2)}{2 y (4 {(2)}^{2} + 4 y^{2} - 25 \cdot 2)}$

Étape 1.7.2

Remplacez la variable $y$ par $1$ dans l’expression.

$- \frac{8 {(2)}^{3} - 25 {(1)}^{2} + 8 {(1)}^{2} (2)}{2 (1) (4 {(2)}^{2} + 4 {(1)}^{2} - 25 \cdot 2)}$

Étape 1.7.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.7.3.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$- \frac{8 \cdot 8 - 25 \cdot 1^{2} + 8 \cdot 1^{2} \cdot 2}{2 (1) (4 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 1^{2} - 25 \cdot 2)}$

Étape 1.7.3.2

Multipliez $8$ par $8$ .

$- \frac{64 - 25 \cdot 1^{2} + 8 \cdot 1^{2} \cdot 2}{2 (1) (4 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 1^{2} - 25 \cdot 2)}$

Étape 1.7.3.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{64 - 25 \cdot 1 + 8 \cdot 1^{2} \cdot 2}{2 (1) (4 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 1^{2} - 25 \cdot 2)}$

Étape 1.7.3.4

Multipliez $- 25$ par $1$ .

$- \frac{64 - 25 + 8 \cdot 1^{2} \cdot 2}{2 (1) (4 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 1^{2} - 25 \cdot 2)}$

Étape 1.7.3.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{64 - 25 + 8 \cdot 1 \cdot 2}{2 (1) (4 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 1^{2} - 25 \cdot 2)}$

Étape 1.7.3.6

Multipliez $8 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Étape 1.7.3.6.1

Multipliez $8$ par $1$ .

$- \frac{64 - 25 + 8 \cdot 2}{2 (1) (4 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 1^{2} - 25 \cdot 2)}$

Étape 1.7.3.6.2

Multipliez $8$ par $2$ .

$- \frac{64 - 25 + 16}{2 (1) (4 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 1^{2} - 25 \cdot 2)}$

Étape 1.7.3.7

Soustrayez $25$ de $64$ .

$- \frac{39 + 16}{2 (1) (4 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 1^{2} - 25 \cdot 2)}$

Étape 1.7.3.8

Additionnez $39$ et $16$ .

$- \frac{55}{2 (1) (4 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 1^{2} - 25 \cdot 2)}$

Étape 1.7.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$- \frac{55}{2 (4 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 1^{2} - 25 \cdot 2)}$

Étape 1.7.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.7.5.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- \frac{55}{2 (4 \cdot 4 + 4 \cdot 1^{2} - 25 \cdot 2)}$

Étape 1.7.5.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$- \frac{55}{2 (16 + 4 \cdot 1^{2} - 25 \cdot 2)}$

Étape 1.7.5.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{55}{2 (16 + 4 \cdot 1 - 25 \cdot 2)}$

Étape 1.7.5.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$- \frac{55}{2 (16 + 4 - 25 \cdot 2)}$

Étape 1.7.5.5

Multipliez $- 25$ par $2$ .

$- \frac{55}{2 (16 + 4 - 50)}$

Étape 1.7.5.6

Additionnez $16$ et $4$ .

$- \frac{55}{2 (20 - 50)}$

Étape 1.7.5.7

Soustrayez $50$ de $20$ .

$- \frac{55}{2 \cdot - 30}$

Étape 1.7.6

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 1.7.6.1

Multipliez $2$ par $- 30$ .

$- \frac{55}{- 60}$

Étape 1.7.6.2

Annulez le facteur commun à $55$ et $- 60$ .

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Étape 1.7.6.2.1

Factorisez $5$ à partir de $55$ .

$- \frac{5 (11)}{- 60}$

Étape 1.7.6.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.7.6.2.2.1

Factorisez $5$ à partir de $- 60$ .

$- \frac{5 \cdot 11}{5 \cdot - 12}$

Étape 1.7.6.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{5 \cdot 11}{5 \cdot - 12}$

Étape 1.7.6.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{11}{- 12}$

Étape 1.7.6.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{11}{12}$

Étape 1.7.7

Multipliez $- - \frac{11}{12}$ .

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Étape 1.7.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{11}{12})$

Étape 1.7.7.2

Multipliez $\frac{11}{12}$ par $1$ .

$\frac{11}{12}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $\frac{11}{12}$ et un point donné, tel que $(2, 1)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = \frac{11}{12} \cdot (x - (2))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 1 = \frac{11}{12} \cdot (x - 2)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $\frac{11}{12} \cdot (x - 2)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 1 = 0 + 0 + \frac{11}{12} \cdot (x - 2)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 1 = \frac{11}{12} \cdot (x - 2)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 1 = \frac{11}{12} x + \frac{11}{12} \cdot - 2$

Étape 2.3.1.4

Associez $\frac{11}{12}$ et $x$ .

$y - 1 = \frac{11 x}{12} + \frac{11}{12} \cdot - 2$

Étape 2.3.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.1.5.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$y - 1 = \frac{11 x}{12} + \frac{11}{2 (6)} \cdot - 2$

Étape 2.3.1.5.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$y - 1 = \frac{11 x}{12} + \frac{11}{2 \cdot 6} \cdot (2 \cdot - 1)$

Étape 2.3.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$y - 1 = \frac{11 x}{12} + \frac{11}{2 \cdot 6} \cdot (2 \cdot - 1)$

Étape 2.3.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$y - 1 = \frac{11 x}{12} + \frac{11}{6} \cdot - 1$

Étape 2.3.1.6

Associez $\frac{11}{6}$ et $- 1$ .

$y - 1 = \frac{11 x}{12} + \frac{11 \cdot - 1}{6}$

Étape 2.3.1.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.1.7.1

Multipliez $11$ par $- 1$ .

$y - 1 = \frac{11 x}{12} + \frac{- 11}{6}$

Étape 2.3.1.7.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y - 1 = \frac{11 x}{12} - \frac{11}{6}$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \frac{11 x}{12} - \frac{11}{6} + 1$

Étape 2.3.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$y = \frac{11 x}{12} - \frac{11}{6} + \frac{6}{6}$

Étape 2.3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{11 x}{12} + \frac{- 11 + 6}{6}$

Étape 2.3.2.4

Additionnez $- 11$ et $6$ .

$y = \frac{11 x}{12} + \frac{- 5}{6}$

Étape 2.3.2.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{11 x}{12} - \frac{5}{6}$

Étape 2.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{11}{12} x - \frac{5}{6}$

Étape 3