Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{1}{2 x^{3}}$ , $(1, \frac{1}{2})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 1$ et $y = \frac{1}{2}$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{2 x^{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Étape 1.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{3}}$ comme ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Étape 1.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

Étape 1.2.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 3$ .

$\frac{1}{2} (- 3 x^{- 4})$

Étape 1.4

Associez les fractions.

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Étape 1.4.1

Associez $- 3$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 3}{2} x^{- 4}$

Étape 1.4.2

Associez $\frac{- 3}{2}$ et $x^{- 4}$ .

$\frac{- 3 x^{- 4}}{2}$

Étape 1.4.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.4.3.1

Placez $x^{- 4}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 3}{2 x^{4}}$

Étape 1.4.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{2 x^{4}}$

Étape 1.5

Évaluez la dérivée sur $x = 1$ .

$- \frac{3}{2 {(1)}^{4}}$

Étape 1.6

Simplifiez

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Étape 1.6.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{3}{2 \cdot 1}$

Étape 1.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$- \frac{3}{2}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $- \frac{3}{2}$ et un point donné, tel que $(1, \frac{1}{2})$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} \cdot (x - (1))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{3}{2} \cdot (x - 1)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $- \frac{3}{2} \cdot (x - 1)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - \frac{1}{2} = 0 + 0 - \frac{3}{2} \cdot (x - 1)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{3}{2} \cdot (x - 1)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} \cdot - 1$

Étape 2.3.1.4

Associez $x$ et $\frac{3}{2}$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x \cdot 3}{2} - \frac{3}{2} \cdot - 1$

Étape 2.3.1.5

Multipliez $- \frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Étape 2.3.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x \cdot 3}{2} + 1 (\frac{3}{2})$

Étape 2.3.1.5.2

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $1$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{3}{2}$

Étape 2.3.1.6

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $\frac{1}{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 2.3.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{- 3 x + 3 + 1}{2}$

Étape 2.3.2.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$y = \frac{- 3 x + 4}{2}$

Étape 2.3.2.4

Divisez la fraction $\frac{- 3 x + 4}{2}$ en deux fractions.

$y = \frac{- 3 x}{2} + \frac{4}{2}$

Étape 2.3.2.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.2.5.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{4}{2}$

Étape 2.3.2.5.2

Divisez $4$ par $2$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + 2$

Étape 2.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 2.3.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - (\frac{3}{2} x) + 2$

Étape 2.3.3.2

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{3}{2} x + 2$

Étape 3