Calcul infinitésimal Exemples

$y = e^{2 x}$ at $x = \frac{1}{2} \ln (2)$

Étape 1

Déterminez la valeur $y$ correspondant à $x = \frac{1}{2} \cdot \ln (2)$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $\frac{1}{2} \cdot \ln (2)$ .

$y = e^{2 (\frac{1}{2} \cdot \ln (2))}$

Étape 1.2

Simplifiez $e^{2 (\frac{1}{2} \cdot \ln (2))}$ .

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Étape 1.2.1

Simplifiez $\frac{1}{2} \ln (2)$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ dans le logarithme.

$y = e^{2 \ln (2^{\frac{1}{2}})}$

Étape 1.2.2

Simplifiez $2 \ln (2^{\frac{1}{2}})$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$y = e^{\ln ({(2^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Étape 1.2.3

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$y = {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 1.2.4

Multipliez les exposants dans ${(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 1.2.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 1.2.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$y = 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 1.2.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$y = 2^{1}$

Étape 1.2.5

Évaluez l’exposant.

$y = 2$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = \frac{1}{2} \ln (2)$ et $y = 2$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{2 x} (2 \cdot 1)$

Étape 2.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$e^{2 x} \cdot 2$

Étape 2.2.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x}$

Étape 2.3

Évaluez la dérivée sur $x = \frac{1}{2} \cdot \ln (2)$ .

$2 e^{2 (\frac{1}{2} \cdot \ln (2))}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Simplifiez $\frac{1}{2} \ln (2)$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ dans le logarithme.

$2 e^{2 \ln (2^{\frac{1}{2}})}$

Étape 2.4.2

Simplifiez $2 \ln (2^{\frac{1}{2}})$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$2 e^{\ln ({(2^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Étape 2.4.3

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 2.4.4

Multipliez les exposants dans ${(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.4.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 2.4.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 2.4.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$2 \cdot 2^{1}$

Étape 2.4.5

Évaluez l’exposant.

$2 \cdot 2$

Étape 2.4.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$4$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $4$ et un point donné, tel que $(\frac{1}{2} \cdot \ln (2), 2)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = 4 \cdot (x - (\frac{1}{2} \cdot \ln (2)))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 2 = 4 \cdot (x - \ln (2^{\frac{1}{2}}))$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Simplifiez $4 \cdot (x - \ln (2^{\frac{1}{2}}))$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez.

$y - 2 = 0 + 0 + 4 \cdot (x - \ln (2^{\frac{1}{2}}))$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 2 = 4 \cdot (x - \ln (2^{\frac{1}{2}}))$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 2 = 4 x + 4 (- \ln (2^{\frac{1}{2}}))$

Étape 3.3.1.4

Multipliez $4 (- \ln (2^{\frac{1}{2}}))$ .

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Étape 3.3.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$y - 2 = 4 x - 4 \ln (2^{\frac{1}{2}})$

Étape 3.3.1.4.2

Simplifiez $- 4 \ln (2^{\frac{1}{2}})$ en déplaçant $4$ dans le logarithme.

$y - 2 = 4 x - \ln ({(2^{\frac{1}{2}})}^{4})$

Étape 3.3.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.5.1

Multipliez les exposants dans ${(2^{\frac{1}{2}})}^{4}$ .

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Étape 3.3.1.5.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y - 2 = 4 x - \ln (2^{\frac{1}{2} \cdot 4})$

Étape 3.3.1.5.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.5.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$y - 2 = 4 x - \ln (2^{\frac{1}{2} \cdot (2 (2))})$

Étape 3.3.1.5.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y - 2 = 4 x - \ln (2^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2)})$

Étape 3.3.1.5.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y - 2 = 4 x - \ln (2^{2})$

Étape 3.3.1.5.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y - 2 = 4 x - \ln (4)$

Étape 3.3.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 4 x - \ln (4) + 2$

Étape 4