Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 + \ln (x)$ ; $x = 1$

Étape 1

Déterminez la valeur $y$ correspondant à $x = 1$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $1$ .

$y = 2 + \ln (1)$

Étape 1.2

Résolvez $y$ .

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Étape 1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 2 + \ln (1)$

Étape 1.2.2

Simplifiez $2 + \ln (1)$ .

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Étape 1.2.2.1

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$y = 2 + 0$

Étape 1.2.2.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$y = 2$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 1$ et $y = 2$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 + \ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 2.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 2.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$0 + \frac{1}{x}$

Étape 2.3

Additionnez $0$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Étape 2.4

Évaluez la dérivée sur $x = 1$ .

$\frac{1}{1}$

Étape 2.5

Divisez $1$ par $1$ .

$1$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $1$ et un point donné, tel que $(1, 2)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = 1 \cdot (x - (1))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 2 = 1 \cdot (x - 1)$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Multipliez $x - 1$ par $1$ .

$y - 2 = x - 1$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$y = x - 1 + 2$

Étape 3.3.2.2

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$y = x + 1$

Étape 4