Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$ ; $(4, \frac{5}{2})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 4$ et $y = \frac{5}{2}$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Étape 1.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Étape 1.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Étape 1.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Étape 1.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Étape 1.2.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Étape 1.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$ .

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Étape 1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 1.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ comme ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 1.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 1.3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

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Étape 1.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 1.3.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.3.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 1.3.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 1.3.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 1.3.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 1.3.7

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 1.3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 1.3.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.9.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Étape 1.3.9.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Étape 1.3.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Étape 1.3.11

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 1.3.12

Associez $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2}$

Étape 1.3.13

Multipliez $x^{- \frac{1}{2}}$ par $x^{- 1}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.13.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2}$

Étape 1.3.13.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2}$

Étape 1.3.13.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2}$

Étape 1.3.13.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2}$

Étape 1.3.13.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.13.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2}$

Étape 1.3.13.5.2

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2}$

Étape 1.3.13.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Étape 1.3.14

Placez $x^{- \frac{3}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.4.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.5

Évaluez la dérivée sur $x = 4$ .

$\frac{1}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.6

Simplifiez

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Étape 1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.6.1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.6.1.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.6.1.1.2

Multipliez les exposants dans ${(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 1.6.1.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}} - \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.6.1.1.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.6.1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}} - \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.6.1.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2 \cdot 2^{1}} - \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.6.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2^{1 + 1}} - \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.6.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.6.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.6.1.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.6.1.3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.6.1.3.2

Multipliez les exposants dans ${(2^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 1.6.1.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}$

Étape 1.6.1.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.6.1.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}$

Étape 1.6.1.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{2 \cdot 2^{3}}$

Étape 1.6.1.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{2^{1 + 3}}$

Étape 1.6.1.3.4

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{2^{4}}$

Étape 1.6.1.4

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{16}$

Étape 1.6.2

Pour écrire $\frac{1}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{16}$

Étape 1.6.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $16$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.6.3.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{4 \cdot 4} - \frac{1}{16}$

Étape 1.6.3.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{4}{16} - \frac{1}{16}$

Étape 1.6.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 - 1}{16}$

Étape 1.6.5

Soustrayez $1$ de $4$ .

$\frac{3}{16}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $\frac{3}{16}$ et un point donné, tel que $(4, \frac{5}{2})$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{5}{2}) = \frac{3}{16} \cdot (x - (4))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - \frac{5}{2} = \frac{3}{16} \cdot (x - 4)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $\frac{3}{16} \cdot (x - 4)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - \frac{5}{2} = 0 + 0 + \frac{3}{16} \cdot (x - 4)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - \frac{5}{2} = \frac{3}{16} \cdot (x - 4)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - \frac{5}{2} = \frac{3}{16} x + \frac{3}{16} \cdot - 4$

Étape 2.3.1.4

Associez $\frac{3}{16}$ et $x$ .

$y - \frac{5}{2} = \frac{3 x}{16} + \frac{3}{16} \cdot - 4$

Étape 2.3.1.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.3.1.5.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$y - \frac{5}{2} = \frac{3 x}{16} + \frac{3}{4 (4)} \cdot - 4$

Étape 2.3.1.5.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$y - \frac{5}{2} = \frac{3 x}{16} + \frac{3}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Étape 2.3.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$y - \frac{5}{2} = \frac{3 x}{16} + \frac{3}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Étape 2.3.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$y - \frac{5}{2} = \frac{3 x}{16} + \frac{3}{4} \cdot - 1$

Étape 2.3.1.6

Associez $\frac{3}{4}$ et $- 1$ .

$y - \frac{5}{2} = \frac{3 x}{16} + \frac{3 \cdot - 1}{4}$

Étape 2.3.1.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.1.7.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$y - \frac{5}{2} = \frac{3 x}{16} + \frac{- 3}{4}$

Étape 2.3.1.7.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y - \frac{5}{2} = \frac{3 x}{16} - \frac{3}{4}$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $\frac{5}{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \frac{3 x}{16} - \frac{3}{4} + \frac{5}{2}$

Étape 2.3.2.2

Pour écrire $\frac{5}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{3 x}{16} - \frac{3}{4} + \frac{5}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 2.3.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.3.2.3.1

Multipliez $\frac{5}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{3 x}{16} - \frac{3}{4} + \frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Étape 2.3.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{3 x}{16} - \frac{3}{4} + \frac{5 \cdot 2}{4}$

Étape 2.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{3 x}{16} + \frac{- 3 + 5 \cdot 2}{4}$

Étape 2.3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.2.5.1

Multipliez $5$ par $2$ .

$y = \frac{3 x}{16} + \frac{- 3 + 10}{4}$

Étape 2.3.2.5.2

Additionnez $- 3$ et $10$ .

$y = \frac{3 x}{16} + \frac{7}{4}$

Étape 2.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{3}{16} x + \frac{7}{4}$

Étape 3