Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{1}{{(x^{3} - x)}^{2}}$ at $x = 2$

Étape 1

Déterminez la valeur $y$ correspondant à $x = 2$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $2$ .

$y = \frac{1}{{({(2)}^{3} - (2))}^{2}}$

Étape 1.2

Résolvez $y$ .

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Étape 1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{1}{{(2^{3} - (2))}^{2}}$

Étape 1.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{1}{{({(2)}^{3} - (2))}^{2}}$

Étape 1.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.3.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$y = \frac{1}{{(8 - (2))}^{2}}$

Étape 1.2.3.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y = \frac{1}{{(8 - 2)}^{2}}$

Étape 1.2.3.3

Soustrayez $2$ de $8$ .

$y = \frac{1}{6^{2}}$

Étape 1.2.3.4

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{1}{36}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 2$ et $y = \frac{1}{36}$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.1.1

Réécrivez $\frac{1}{{(x^{3} - x)}^{2}}$ comme ${({(x^{3} - x)}^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(x^{3} - x)}^{2})}^{- 1}]$

Étape 2.1.2

Multipliez les exposants dans ${({(x^{3} - x)}^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{3} - x)}^{2 \cdot - 1}]$

Étape 2.1.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{3} - x)}^{- 2}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 2}$ et $g (x) = x^{3} - x$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{3} - x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x^{3} - x]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x^{3} - x]$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3} - x$ .

$- 2 {(x^{3} - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x^{3} - x]$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- 2 {(x^{3} - x)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 2 {(x^{3} - x)}^{- 3} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 2.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 {(x^{3} - x)}^{- 3} (3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 {(x^{3} - x)}^{- 3} (3 x^{2} - 1 \cdot 1)$

Étape 2.3.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 2 {(x^{3} - x)}^{- 3} (3 x^{2} - 1)$

Étape 2.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(x^{3} - x)}^{3}} (3 x^{2} - 1)$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Associez des termes.

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Étape 2.5.1.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{{(x^{3} - x)}^{3}}$ .

$\frac{- 2}{{(x^{3} - x)}^{3}} (3 x^{2} - 1)$

Étape 2.5.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{{(x^{3} - x)}^{3}} (3 x^{2} - 1)$

Étape 2.5.2

Réorganisez les facteurs de $- \frac{2}{{(x^{3} - x)}^{3}} (3 x^{2} - 1)$ .

$- (3 x^{2} - 1) \frac{2}{{(x^{3} - x)}^{3}}$

Étape 2.6

Évaluez la dérivée sur $x = 2$ .

$- (3 {(2)}^{2} - 1) \frac{2}{{({(2)}^{3} - (2))}^{3}}$

Étape 2.7

Simplifiez

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Étape 2.7.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.7.1.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$- (3 {(2)}^{2} - 1) \frac{2}{{(8 - (2))}^{3}}$

Étape 2.7.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- (3 {(2)}^{2} - 1) \frac{2}{{(8 - 2)}^{3}}$

Étape 2.7.1.3

Soustrayez $2$ de $8$ .

$- (3 {(2)}^{2} - 1) \frac{2}{6^{3}}$

Étape 2.7.1.4

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$- (3 {(2)}^{2} - 1) \frac{2}{216}$

Étape 2.7.2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.7.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- (3 \cdot 4 - 1) \frac{2}{216}$

Étape 2.7.2.1.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$- (12 - 1) \frac{2}{216}$

Étape 2.7.2.2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.7.2.2.1

Soustrayez $1$ de $12$ .

$- 1 \cdot 11 \frac{2}{216}$

Étape 2.7.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $11$ .

$- 11 (\frac{2}{216})$

Étape 2.7.2.2.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $216$ .

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Étape 2.7.2.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- 11 \frac{2 (1)}{216}$

Étape 2.7.2.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.7.2.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $216$ .

$- 11 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 108}$

Étape 2.7.2.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 11 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 108}$

Étape 2.7.2.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 11 (\frac{1}{108})$

Étape 2.7.2.2.4

Associez $- 11$ et $\frac{1}{108}$ .

$\frac{- 11}{108}$

Étape 2.7.2.2.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{11}{108}$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $- \frac{11}{108}$ et un point donné, tel que $(2, \frac{1}{36})$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{36}) = - \frac{11}{108} \cdot (x - (2))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - \frac{1}{36} = - \frac{11}{108} \cdot (x - 2)$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Simplifiez $- \frac{11}{108} \cdot (x - 2)$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez.

$y - \frac{1}{36} = 0 + 0 - \frac{11}{108} \cdot (x - 2)$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 3.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y - \frac{1}{36} = - \frac{11}{108} x - \frac{11}{108} \cdot - 2$

Étape 3.3.1.2.2

Associez $x$ et $\frac{11}{108}$ .

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} - \frac{11}{108} \cdot - 2$

Étape 3.3.1.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.2.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{11}{108}$ dans le numérateur.

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{- 11}{108} \cdot - 2$

Étape 3.3.1.2.3.2

Factorisez $2$ à partir de $108$ .

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{- 11}{2 (54)} \cdot - 2$

Étape 3.3.1.2.3.3

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{- 11}{2 \cdot 54} \cdot (2 \cdot - 1)$

Étape 3.3.1.2.3.4

Annulez le facteur commun.

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{- 11}{2 \cdot 54} \cdot (2 \cdot - 1)$

Étape 3.3.1.2.3.5

Réécrivez l’expression.

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{- 11}{54} \cdot - 1$

Étape 3.3.1.2.4

Associez $\frac{- 11}{54}$ et $- 1$ .

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{- 11 \cdot - 1}{54}$

Étape 3.3.1.2.5

Multipliez $- 11$ par $- 1$ .

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{11}{54}$

Étape 3.3.1.3

Déplacez $11$ à gauche de $x$ .

$y - \frac{1}{36} = - \frac{11 x}{108} + \frac{11}{54}$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Ajoutez $\frac{1}{36}$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11}{54} + \frac{1}{36}$

Étape 3.3.2.2

Pour écrire $\frac{11}{54}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11}{54} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{36}$

Étape 3.3.2.3

Pour écrire $\frac{1}{36}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11}{54} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{36} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 3.3.2.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $108$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.3.2.4.1

Multipliez $\frac{11}{54}$ par $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11 \cdot 2}{54 \cdot 2} + \frac{1}{36} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 3.3.2.4.2

Multipliez $54$ par $2$ .

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11 \cdot 2}{108} + \frac{1}{36} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 3.3.2.4.3

Multipliez $\frac{1}{36}$ par $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11 \cdot 2}{108} + \frac{3}{36 \cdot 3}$

Étape 3.3.2.4.4

Multipliez $36$ par $3$ .

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11 \cdot 2}{108} + \frac{3}{108}$

Étape 3.3.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11 \cdot 2 + 3}{108}$

Étape 3.3.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.2.6.1

Multipliez $11$ par $2$ .

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{22 + 3}{108}$

Étape 3.3.2.6.2

Additionnez $22$ et $3$ .

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{25}{108}$

Étape 3.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 3.3.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - (\frac{11}{108} x) + \frac{25}{108}$

Étape 3.3.3.2

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{11}{108} x + \frac{25}{108}$

Étape 4