Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{1 + x}{8 + e^{x}}$ , $(0, \frac{1}{9})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 0$ et $y = \frac{1}{9}$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 1 + x$ et $g (x) = 8 + e^{x}$ .

$\frac{(8 + e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(8 + e^{x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Étape 1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(8 + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Étape 1.2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(8 + e^{x}) \frac{d}{d x} [x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Étape 1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(8 + e^{x}) \cdot 1 - (1 + x) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Étape 1.2.5

Multipliez $8 + e^{x}$ par $1$ .

$\frac{8 + e^{x} - (1 + x) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Étape 1.2.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 + e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{8 + e^{x} - (1 + x) (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Étape 1.2.7

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{8 + e^{x} - (1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Étape 1.2.8

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{8 + e^{x} - (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{8 + e^{x} - (1 + x) e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 + e^{x} + (- 1 \cdot 1 - x) e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Étape 1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 + e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x} - x e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Étape 1.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.3.1.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{8 + e^{x} - 1 e^{x} - x e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Étape 1.4.3.1.2

Réécrivez $- 1 e^{x}$ comme $- e^{x}$ .

$\frac{8 + e^{x} - e^{x} - x e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Étape 1.4.3.2

Associez les termes opposés dans $8 + e^{x} - e^{x} - x e^{x}$ .

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Étape 1.4.3.2.1

Soustrayez $e^{x}$ de $e^{x}$ .

$\frac{8 + 0 - x e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Étape 1.4.3.2.2

Additionnez $8$ et $0$ .

$\frac{8 - x e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Étape 1.4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- e^{x} x + 8}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Étape 1.4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- e^{x} x$ .

$\frac{- (e^{x} x) + 8}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Étape 1.4.6

Réécrivez $8$ comme $- 1 (- 8)$ .

$\frac{- (e^{x} x) - 1 (- 8)}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Étape 1.4.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (e^{x} x) - 1 (- 8)$ .

$\frac{- (e^{x} x - 8)}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Étape 1.4.8

Réécrivez $- (e^{x} x - 8)$ comme $- 1 (e^{x} x - 8)$ .

$\frac{- 1 (e^{x} x - 8)}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Étape 1.4.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{e^{x} x - 8}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Étape 1.4.10

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{e^{x} x - 8}{{(8 + e^{x})}^{2}}$ .

$- \frac{x e^{x} - 8}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Étape 1.5

Évaluez la dérivée sur $x = 0$ .

$- \frac{(0) \cdot e^{0} - 8}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Étape 1.6

Simplifiez

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Étape 1.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.6.1.1

Réécrivez $0 \cdot e^{0}$ comme ${(0 \cdot e^{0})}^{3}$ .

$- \frac{{(0 \cdot e^{0})}^{3} - 8}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Étape 1.6.1.2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$- \frac{{(0 \cdot e^{0})}^{3} - 2^{3}}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Étape 1.6.1.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = 0 \cdot e^{0}$ et $b = 2$ .

$- \frac{(0 \cdot e^{0} - 2) ({(0 \cdot e^{0})}^{2} + 0 \cdot e^{0} \cdot 2 + 2^{2})}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Étape 1.6.1.4

Simplifiez

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Étape 1.6.1.4.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$- \frac{(0 \cdot 1 - 2) ({(0 \cdot e^{0})}^{2} + 0 \cdot e^{0} \cdot 2 + 2^{2})}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Étape 1.6.1.4.2

Multipliez $0$ par $1$ .

$- \frac{(0 - 2) ({(0 \cdot e^{0})}^{2} + 0 \cdot e^{0} \cdot 2 + 2^{2})}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Étape 1.6.1.4.3

Soustrayez $2$ de $0$ .

$- \frac{- 2 ({(0 \cdot e^{0})}^{2} + 0 \cdot e^{0} \cdot 2 + 2^{2})}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Étape 1.6.1.4.4

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.6.1.4.4.1

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$0 \cdot e^{0} \cdot 2 = 2 \cdot (0 \cdot e^{0}) \cdot 2$

Étape 1.6.1.4.4.2

Réécrivez le polynôme.

$- \frac{- 2 ({(0 \cdot e^{0})}^{2} + 2 \cdot (0 \cdot e^{0}) \cdot 2 + 2^{2})}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Étape 1.6.1.4.4.3

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = 0 \cdot e^{0}$ et $b = 2$ .

$- \frac{- 2 {(0 \cdot e^{0} + 2)}^{2}}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Étape 1.6.1.4.5

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$- \frac{- 2 {(0 \cdot 1 + 2)}^{2}}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Étape 1.6.1.4.6

Multipliez $0$ par $1$ .

$- \frac{- 2 {(0 + 2)}^{2}}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Étape 1.6.1.4.7

Additionnez $0$ et $2$ .

$- \frac{- 2 \cdot 2^{2}}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Étape 1.6.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Étape 1.6.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.6.2.1

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(2^{3} + e^{0})}^{2}}$

Étape 1.6.2.2

Réécrivez $e^{0}$ comme ${(e^{0})}^{3}$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(2^{3} + {(e^{0})}^{3})}^{2}}$

Étape 1.6.2.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = 2$ et $b = e^{0}$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{((2 + e^{0}) (2^{2} - 2 e^{0} + {(e^{0})}^{2}))}^{2}}$

Étape 1.6.2.4

Simplifiez

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Étape 1.6.2.4.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{((2 + 1) (2^{2} - 2 e^{0} + {(e^{0})}^{2}))}^{2}}$

Étape 1.6.2.4.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (2^{2} - 2 e^{0} + {(e^{0})}^{2}))}^{2}}$

Étape 1.6.2.4.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (4 - 2 e^{0} + {(e^{0})}^{2}))}^{2}}$

Étape 1.6.2.4.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (4 - 2 \cdot 1 + {(e^{0})}^{2}))}^{2}}$

Étape 1.6.2.4.5

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (4 - 2 + {(e^{0})}^{2}))}^{2}}$

Étape 1.6.2.4.6

Multipliez les exposants dans ${(e^{0})}^{2}$ .

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Étape 1.6.2.4.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (4 - 2 + e^{0 \cdot 2}))}^{2}}$

Étape 1.6.2.4.6.2

Multipliez $0$ par $2$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (4 - 2 + e^{0}))}^{2}}$

Étape 1.6.2.4.7

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (4 - 2 + 1))}^{2}}$

Étape 1.6.2.4.8

Soustrayez $2$ de $4$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (2 + 1))}^{2}}$

Étape 1.6.2.4.9

Additionnez $2$ et $1$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 \cdot 3)}^{2}}$

Étape 1.6.2.5

Appliquez la règle de produit à $3 \cdot 3$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{3^{2} \cdot 3^{2}}$

Étape 1.6.2.6

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{9 \cdot 3^{2}}$

Étape 1.6.2.7

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{9 \cdot 9}$

Étape 1.6.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.6.3.1

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$- \frac{- 8}{9 \cdot 9}$

Étape 1.6.3.2

Multipliez $9$ par $9$ .

$- \frac{- 8}{81}$

Étape 1.6.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{8}{81}$

Étape 1.6.4

Multipliez $- - \frac{8}{81}$ .

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Étape 1.6.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{8}{81})$

Étape 1.6.4.2

Multipliez $\frac{8}{81}$ par $1$ .

$\frac{8}{81}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $\frac{8}{81}$ et un point donné, tel que $(0, \frac{1}{9})$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{9}) = \frac{8}{81} \cdot (x - (0))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - \frac{1}{9} = \frac{8}{81} \cdot (x + 0)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $\frac{8}{81} \cdot (x + 0)$ .

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Étape 2.3.1.1

Additionnez $x$ et $0$ .

$y - \frac{1}{9} = \frac{8}{81} \cdot x$

Étape 2.3.1.2

Associez $\frac{8}{81}$ et $x$ .

$y - \frac{1}{9} = \frac{8 x}{81}$

Étape 2.3.2

Ajoutez $\frac{1}{9}$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \frac{8 x}{81} + \frac{1}{9}$

Étape 2.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{8}{81} x + \frac{1}{9}$

Étape 3