Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{e^{x}}{x}$ , $(1, e)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 1$ et $y = e$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x} \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 1.3.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}}$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{e^{x} x - e^{x}}{x^{2}}$

Étape 1.4.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} x - e^{x}$ .

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Étape 1.4.2.1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} (x) - e^{x}}{x^{2}}$

Étape 1.4.2.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $- e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1}{x^{2}}$

Étape 1.4.2.3

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1$ .

$\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$

Étape 1.5

Évaluez la dérivée sur $x = 1$ .

$\frac{e^{1} ((1) - 1)}{{(1)}^{2}}$

Étape 1.6

Simplifiez

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Étape 1.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.6.1.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{e^{1} \cdot 0}{1^{2}}$

Étape 1.6.1.2

Simplifiez

$\frac{e \cdot 0}{1^{2}}$

Étape 1.6.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.6.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{e \cdot 0}{1}$

Étape 1.6.2.2

Multipliez $e$ par $0$ .

$\frac{0}{1}$

Étape 1.6.2.3

Divisez $0$ par $1$ .

$0$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $0$ et un point donné, tel que $(1, e)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (e) = 0 \cdot (x - (1))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - e = 0 \cdot (x - 1)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez $0$ par $x - 1$ .

$y - e = 0$

Étape 2.3.2

Ajoutez $e$ aux deux côtés de l’équation.

$y = e$

Étape 3