Calcul infinitésimal Exemples

$\int (x^{2} + x) \sqrt[3]{x + 7} d x$

Étape 1

Laissez $u = x + 7$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x + 7$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x + 7$ .

$\frac{d}{d x} [x + 7]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 1.1.4

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

$1$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int ({(u - 7)}^{2} + u - 7) \sqrt[3]{u} d u$

$\int ({(u - 7)}^{2} + u - 7) \sqrt[3]{u} d u$

Étape 2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{u}$ comme $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\int ({(u - 7)}^{2} + u - 7) u^{\frac{1}{3}} d u$

Étape 3

Développez $({(u - 7)}^{2} + u - 7) u^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 3.1

Réécrivez ${(u - 7)}^{2}$ comme $(u - 7) (u - 7)$ .

$\int ((u - 7) (u - 7) + u - 7) u^{\frac{1}{3}} d u$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int (u (u - 7) - 7 (u - 7) + u - 7) u^{\frac{1}{3}} d u$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 7 - 7 (u - 7) + u - 7) u^{\frac{1}{3}} d u$

Étape 3.4

Appliquez la propriété distributive.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 7 - 7 u - 7 \cdot - 7 + u - 7) u^{\frac{1}{3}} d u$

Étape 3.5

Appliquez la propriété distributive.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 7 - 7 u - 7 \cdot - 7 + u) u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Étape 3.6

Appliquez la propriété distributive.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 7 - 7 u - 7 \cdot - 7) u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Étape 3.7

Appliquez la propriété distributive.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 7) u^{\frac{1}{3}} + (- 7 u - 7 \cdot - 7) u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Étape 3.8

Appliquez la propriété distributive.

$\int u \cdot u \cdot u^{\frac{1}{3}} + u \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + (- 7 u - 7 \cdot - 7) u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Étape 3.9

Appliquez la propriété distributive.

$\int u \cdot u \cdot u^{\frac{1}{3}} + u \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Étape 3.10

Remettez dans l’ordre $u$ et $- 7$ .

$\int u \cdot u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Étape 3.11

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int u^{1} u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Étape 3.12

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int u^{1} u^{1} u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Étape 3.13

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int u^{1 + 1} u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Étape 3.14

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int u^{2} u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Étape 3.15

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int u^{2 + \frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Étape 3.16

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\int u^{2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Étape 3.17

Associez $2$ et $\frac{3}{3}$ .

$\int u^{\frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Étape 3.18

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int u^{\frac{2 \cdot 3 + 1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Étape 3.19

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.19.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$\int u^{\frac{6 + 1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Étape 3.19.2

Additionnez $6$ et $1$ .

$\int u^{\frac{7}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

$\int u^{\frac{7}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Étape 3.20

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int u^{\frac{7}{3}} - 7 (u^{1} u^{\frac{1}{3}}) - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Étape 3.21

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int u^{\frac{7}{3}} - 7 u^{1 + \frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Étape 3.22

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int u^{\frac{7}{3}} - 7 u^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Étape 3.23

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int u^{\frac{7}{3}} - 7 u^{\frac{3 + 1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Étape 3.24

Additionnez $3$ et $1$ .

$\int u^{\frac{7}{3}} - 7 u^{\frac{4}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Étape 3.25

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int u^{\frac{7}{3}} - 7 u^{\frac{4}{3}} - 7 (u^{1} u^{\frac{1}{3}}) - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Étape 3.26

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int u^{\frac{7}{3}} - 7 u^{\frac{4}{3}} - 7 u^{1 + \frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Étape 3.27

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int u^{\frac{7}{3}} - 7 u^{\frac{4}{3}} - 7 u^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Étape 3.28

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int u^{\frac{7}{3}} - 7 u^{\frac{4}{3}} - 7 u^{\frac{3 + 1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Étape 3.29

Additionnez $3$ et $1$ .

$\int u^{\frac{7}{3}} - 7 u^{\frac{4}{3}} - 7 u^{\frac{4}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Étape 3.30

Multipliez $- 7$ par $- 7$ .

$\int u^{\frac{7}{3}} - 7 u^{\frac{4}{3}} - 7 u^{\frac{4}{3}} + 49 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Étape 3.31

Soustrayez $7 u^{\frac{4}{3}}$ de $- 7 u^{\frac{4}{3}}$ .

$\int u^{\frac{7}{3}} - 14 u^{\frac{4}{3}} + 49 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Étape 3.32

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int u^{\frac{7}{3}} - 14 u^{\frac{4}{3}} + 49 u^{\frac{1}{3}} + u^{1} u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Étape 3.33

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int u^{\frac{7}{3}} - 14 u^{\frac{4}{3}} + 49 u^{\frac{1}{3}} + u^{1 + \frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Étape 3.34

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int u^{\frac{7}{3}} - 14 u^{\frac{4}{3}} + 49 u^{\frac{1}{3}} + u^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Étape 3.35

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int u^{\frac{7}{3}} - 14 u^{\frac{4}{3}} + 49 u^{\frac{1}{3}} + u^{\frac{3 + 1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Étape 3.36

Additionnez $3$ et $1$ .

$\int u^{\frac{7}{3}} - 14 u^{\frac{4}{3}} + 49 u^{\frac{1}{3}} + u^{\frac{4}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Étape 3.37

Remettez dans l’ordre $- 14 u^{\frac{4}{3}}$ et $49 u^{\frac{1}{3}}$ .

$\int u^{\frac{7}{3}} + 49 u^{\frac{1}{3}} - 14 u^{\frac{4}{3}} + u^{\frac{4}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Étape 3.38

Remettez dans l’ordre $u^{\frac{7}{3}}$ et $49 u^{\frac{1}{3}}$ .

$\int 49 u^{\frac{1}{3}} + u^{\frac{7}{3}} - 14 u^{\frac{4}{3}} + u^{\frac{4}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Étape 3.39

Déplacez $- 14 u^{\frac{4}{3}}$ .

$\int 49 u^{\frac{1}{3}} + u^{\frac{7}{3}} + u^{\frac{4}{3}} - 14 u^{\frac{4}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Étape 3.40

Déplacez $- 14 u^{\frac{4}{3}}$ .

$\int 49 u^{\frac{1}{3}} + u^{\frac{7}{3}} + u^{\frac{4}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} - 14 u^{\frac{4}{3}} d u$

$\int 49 u^{\frac{1}{3}} + u^{\frac{7}{3}} + u^{\frac{4}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} - 14 u^{\frac{4}{3}} d u$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Soustrayez $7 u^{\frac{1}{3}}$ de $49 u^{\frac{1}{3}}$ .

$\int 42 u^{\frac{1}{3}} + u^{\frac{7}{3}} + u^{\frac{4}{3}} - 14 u^{\frac{4}{3}} d u$

Étape 4.2

Soustrayez $14 u^{\frac{4}{3}}$ de $u^{\frac{4}{3}}$ .

$\int 42 u^{\frac{1}{3}} + u^{\frac{7}{3}} - 13 u^{\frac{4}{3}} d u$

$\int 42 u^{\frac{1}{3}} + u^{\frac{7}{3}} - 13 u^{\frac{4}{3}} d u$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 42 u^{\frac{1}{3}} d u + \int u^{\frac{7}{3}} d u + \int - 13 u^{\frac{4}{3}} d u$

Étape 6

Comme $42$ est constant par rapport à $u$ , placez $42$ en dehors de l’intégrale.

$42 \int u^{\frac{1}{3}} d u + \int u^{\frac{7}{3}} d u + \int - 13 u^{\frac{4}{3}} d u$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $u$ est $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$42 (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C) + \int u^{\frac{7}{3}} d u + \int - 13 u^{\frac{4}{3}} d u$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{7}{3}}$ par rapport à $u$ est $\frac{3}{10} u^{\frac{10}{3}}$ .

$42 (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C) + \frac{3}{10} u^{\frac{10}{3}} + C + \int - 13 u^{\frac{4}{3}} d u$

Étape 9

Associez $\frac{3}{4}$ et $u^{\frac{4}{3}}$ .

$42 (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4} + C) + \frac{3}{10} u^{\frac{10}{3}} + C + \int - 13 u^{\frac{4}{3}} d u$

Étape 10

Comme $- 13$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 13$ en dehors de l’intégrale.

$42 (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4} + C) + \frac{3}{10} u^{\frac{10}{3}} + C - 13 \int u^{\frac{4}{3}} d u$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{4}{3}}$ par rapport à $u$ est $\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}}$ .

$42 (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4} + C) + \frac{3}{10} u^{\frac{10}{3}} + C - 13 (\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C)$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Associez $\frac{3}{7}$ et $u^{\frac{7}{3}}$ .

$42 (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4} + C) + \frac{3}{10} u^{\frac{10}{3}} + C - 13 (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7} + C)$

Étape 12.2

Simplifiez

$\frac{63 u^{\frac{4}{3}}}{2} + \frac{3 u^{\frac{10}{3}}}{10} - 13 \frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7} + C$

$\frac{63 u^{\frac{4}{3}}}{2} + \frac{3 u^{\frac{10}{3}}}{10} - 13 \frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7} + C$

Étape 13

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{63}{2} u^{\frac{4}{3}} + \frac{3}{10} u^{\frac{10}{3}} - 13 (\frac{3}{7}) u^{\frac{7}{3}} + C$

Étape 14

Simplifiez

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Étape 14.1

Associez $- 13$ et $\frac{3}{7}$ .

$\frac{63}{2} u^{\frac{4}{3}} + \frac{3}{10} u^{\frac{10}{3}} + \frac{- 13 \cdot 3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C$

Étape 14.2

Multipliez $- 13$ par $3$ .

$\frac{63}{2} u^{\frac{4}{3}} + \frac{3}{10} u^{\frac{10}{3}} + \frac{- 39}{7} u^{\frac{7}{3}} + C$

Étape 14.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{63}{2} u^{\frac{4}{3}} + \frac{3}{10} u^{\frac{10}{3}} - \frac{39}{7} u^{\frac{7}{3}} + C$

$\frac{63}{2} u^{\frac{4}{3}} + \frac{3}{10} u^{\frac{10}{3}} - \frac{39}{7} u^{\frac{7}{3}} + C$

Étape 15

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 7$ .

$\frac{63}{2} {(x + 7)}^{\frac{4}{3}} + \frac{3}{10} {(x + 7)}^{\frac{10}{3}} - \frac{39}{7} {(x + 7)}^{\frac{7}{3}} + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$