Calcul infinitésimal Exemples

$\int (x + 3) {(x - 1)}^{5} d x$

Étape 1

Laissez $u = x - 1$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x - 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int (u + 1 + 3) u^{5} d u$

Étape 2

Additionnez $1$ et $3$ .

$\int (u + 4) u^{5} d u$

Étape 3

Multipliez $(u + 4) u^{5}$ .

$\int u \cdot u^{5} + 4 u^{5} d u$

Étape 4

Multipliez $u$ par $u^{5}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1

Multipliez $u$ par $u^{5}$ .

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Étape 4.1.1

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int u^{1} u^{5} + 4 u^{5} d u$

Étape 4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int u^{1 + 5} + 4 u^{5} d u$

Étape 4.2

Additionnez $1$ et $5$ .

$\int u^{6} + 4 u^{5} d u$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int u^{6} d u + \int 4 u^{5} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{6}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$\frac{1}{7} u^{7} + C + \int 4 u^{5} d u$

Étape 7

Comme $4$ est constant par rapport à $u$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{7} u^{7} + C + 4 \int u^{5} d u$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{5}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{7} u^{7} + C + 4 (\frac{1}{6} u^{6} + C)$

Étape 9

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Étape 9.1

Simplifiez

$\frac{1}{7} u^{7} + 4 (\frac{1}{6}) u^{6} + C$

Étape 9.2

Simplifiez

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Étape 9.2.1

Associez $4$ et $\frac{1}{6}$ .

$\frac{1}{7} u^{7} + \frac{4}{6} u^{6} + C$

Étape 9.2.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $6$ .

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Étape 9.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{1}{7} u^{7} + \frac{2 (2)}{6} u^{6} + C$

Étape 9.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{1}{7} u^{7} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3} u^{6} + C$

Étape 9.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{7} u^{7} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3} u^{6} + C$

Étape 9.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{7} u^{7} + \frac{2}{3} u^{6} + C$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 1$ .

$\frac{1}{7} {(x - 1)}^{7} + \frac{2}{3} {(x - 1)}^{6} + C$