Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{4 x^{3}}{2 x^{2} - 5}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{4 x^{3}}{2 x^{2} - 5})$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{4 x^{3}}{2 x^{2} - 5}$ par rapport à $y$ est $4 \frac{d}{d y} [\frac{x^{3}}{2 x^{2} - 5}]$ .

$4 \frac{d}{d y} [\frac{x^{3}}{2 x^{2} - 5}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ est $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ où $f (y) = x^{3}$ et $g (y) = 2 x^{2} - 5$ .

$4 \frac{(2 x^{2} - 5) \frac{d}{d y} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d y} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{3}$ et $g (y) = x$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x$ .

$4 \frac{(2 x^{2} - 5) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d y} [x]) - x^{3} \frac{d}{d y} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 \frac{(2 x^{2} - 5) (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d y} [x]) - x^{3} \frac{d}{d y} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x$ .

$4 \frac{(2 x^{2} - 5) (3 x^{2} \frac{d}{d y} [x]) - x^{3} \frac{d}{d y} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Étape 3.4

Déplacez $3$ à gauche de $2 x^{2} - 5$ .

$4 \frac{3 \cdot (2 x^{2} - 5) x^{2} \frac{d}{d y} [x] - x^{3} \frac{d}{d y} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Étape 3.5

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - x^{3} \frac{d}{d y} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Étape 3.6

Différenciez.

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Étape 3.6.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} - 5$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 5]$ .

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - x^{3} (\frac{d}{d y} [2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Étape 3.6.2

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $y$ est $2 \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - x^{3} (2 \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Étape 3.7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{2}$ et $g (y) = x$ .

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Étape 3.7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x$ .

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - x^{3} (2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Étape 3.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - x^{3} (2 (2 u_{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Étape 3.7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x$ .

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - x^{3} (2 (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Étape 3.8

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - x^{3} (4 (x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Étape 3.9

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - x^{3} (4 x x' + \frac{d}{d y} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Étape 3.10

Comme $- 5$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $y$ est $0$ .

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - x^{3} (4 x x' + 0)}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Étape 3.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.11.1

Additionnez $4 x x'$ et $0$ .

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - x^{3} (4 x x')}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Étape 3.11.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - 4 x^{3} (x x')}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Étape 3.12

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - 4 (x^{1} x^{3}) x'}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Étape 3.13

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - 4 x^{1 + 3} x'}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Étape 3.14

Additionnez $1$ et $3$ .

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - 4 x^{4} x'}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Étape 3.15

Associez $4$ et $\frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - 4 x^{4} x'}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$ .

$\frac{4 (3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - 4 x^{4} x')}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Étape 3.16

Simplifiez

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Étape 3.16.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 ((3 (2 x^{2}) + 3 \cdot - 5) x^{2} x' - 4 x^{4} x')}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Étape 3.16.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 ((3 (2 x^{2}) x^{2} + 3 \cdot - 5 x^{2}) x' - 4 x^{4} x')}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Étape 3.16.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 (3 (2 x^{2}) x^{2} x' + 3 \cdot - 5 x^{2} x' - 4 x^{4} x')}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Étape 3.16.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 (3 (2 x^{2}) x^{2} x') + 4 (3 \cdot - 5 x^{2} x') + 4 (- 4 x^{4} x')}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Étape 3.16.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.16.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.16.5.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.16.5.1.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{4 (3 (2 (x^{2} x^{2})) x') + 4 (3 \cdot - 5 x^{2} x') + 4 (- 4 x^{4} x')}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Étape 3.16.5.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 (3 (2 x^{2 + 2}) x') + 4 (3 \cdot - 5 x^{2} x') + 4 (- 4 x^{4} x')}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Étape 3.16.5.1.1.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{4 (3 (2 x^{4}) x') + 4 (3 \cdot - 5 x^{2} x') + 4 (- 4 x^{4} x')}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Étape 3.16.5.1.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{4 (6 x^{4} x') + 4 (3 \cdot - 5 x^{2} x') + 4 (- 4 x^{4} x')}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Étape 3.16.5.1.3

Multipliez $6$ par $4$ .

$\frac{24 (x^{4} x') + 4 (3 \cdot - 5 x^{2} x') + 4 (- 4 x^{4} x')}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Étape 3.16.5.1.4

Multipliez $3$ par $- 5$ .

$\frac{24 x^{4} x' + 4 (- 15 x^{2} x') + 4 (- 4 x^{4} x')}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Étape 3.16.5.1.5

Multipliez $- 15$ par $4$ .

$\frac{24 x^{4} x' - 60 (x^{2} x') + 4 (- 4 x^{4} x')}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Étape 3.16.5.1.6

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$\frac{24 x^{4} x' - 60 x^{2} x' - 16 x^{4} x'}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Étape 3.16.5.2

Soustrayez $16 x^{4} x'$ de $24 x^{4} x'$ .

$\frac{8 x^{4} x' - 60 x^{2} x'}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Étape 3.16.6

Factorisez $4 x^{2} x'$ à partir de $8 x^{4} x' - 60 x^{2} x'$ .

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Étape 3.16.6.1

Factorisez $4 x^{2} x'$ à partir de $8 x^{4} x'$ .

$\frac{4 x^{2} x' (2 x^{2}) - 60 x^{2} x'}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Étape 3.16.6.2

Factorisez $4 x^{2} x'$ à partir de $- 60 x^{2} x'$ .

$\frac{4 x^{2} x' (2 x^{2}) + 4 x^{2} x' (- 15)}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Étape 3.16.6.3

Factorisez $4 x^{2} x'$ à partir de $4 x^{2} x' (2 x^{2}) + 4 x^{2} x' (- 15)$ .

$\frac{4 x^{2} x' (2 x^{2} - 15)}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Étape 3.16.7

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{4 x^{2} x' (2 x^{2} - 15)}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$ .

$\frac{4 x^{2} (2 x^{2} - 15) x'}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$1 = \frac{4 x^{2} (2 x^{2} - 15) x'}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Étape 5

Résolvez $x'$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{4 x^{2} (2 x^{2} - 15) x'}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}} = 1$ .

$\frac{4 x^{2} (2 x^{2} - 15) x'}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}} = 1$

Étape 5.2

Multipliez les deux côtés par ${(2 x^{2} - 5)}^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} (2 x^{2} - 15) x'}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}} {(2 x^{2} - 5)}^{2} = 1 {(2 x^{2} - 5)}^{2}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.1.1

Simplifiez $\frac{4 x^{2} (2 x^{2} - 15) x'}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}} {(2 x^{2} - 5)}^{2}$ .

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Étape 5.3.1.1.1

Simplifiez les termes.

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Étape 5.3.1.1.1.1

Annulez le facteur commun de ${(2 x^{2} - 5)}^{2}$ .

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Étape 5.3.1.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x^{2} (2 x^{2} - 15) x'}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}} {(2 x^{2} - 5)}^{2} = 1 {(2 x^{2} - 5)}^{2}$

Étape 5.3.1.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$4 x^{2} (2 x^{2} - 15) x' = 1 {(2 x^{2} - 5)}^{2}$

Étape 5.3.1.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$(4 x^{2} (2 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 15) x' = 1 {(2 x^{2} - 5)}^{2}$

Étape 5.3.1.1.1.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.1.1.1.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(4 \cdot 2 x^{2} x^{2} + 4 x^{2} \cdot - 15) x' = 1 {(2 x^{2} - 5)}^{2}$

Étape 5.3.1.1.1.3.2

Multipliez $- 15$ par $4$ .

$(4 \cdot 2 x^{2} x^{2} - 60 x^{2}) x' = 1 {(2 x^{2} - 5)}^{2}$

Étape 5.3.1.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.1.2.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.1.1.2.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$(4 \cdot 2 (x^{2} x^{2}) - 60 x^{2}) x' = 1 {(2 x^{2} - 5)}^{2}$

Étape 5.3.1.1.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(4 \cdot 2 x^{2 + 2} - 60 x^{2}) x' = 1 {(2 x^{2} - 5)}^{2}$

Étape 5.3.1.1.2.1.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$(4 \cdot 2 x^{4} - 60 x^{2}) x' = 1 {(2 x^{2} - 5)}^{2}$

Étape 5.3.1.1.2.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$(8 x^{4} - 60 x^{2}) x' = 1 {(2 x^{2} - 5)}^{2}$

Étape 5.3.1.1.3

Simplifiez en multipliant.

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Étape 5.3.1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$8 x^{4} x' - 60 x^{2} x' = 1 {(2 x^{2} - 5)}^{2}$

Étape 5.3.1.1.3.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 5.3.1.1.3.2.1

Déplacez $x^{4}$ .

$8 x' x^{4} - 60 x^{2} x' = 1 {(2 x^{2} - 5)}^{2}$

Étape 5.3.1.1.3.2.2

Déplacez $x^{2}$ .

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = 1 {(2 x^{2} - 5)}^{2}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.1

Multipliez ${(2 x^{2} - 5)}^{2}$ par $1$ .

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = {(2 x^{2} - 5)}^{2}$

Étape 5.4

Résolvez $x'$ .

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Étape 5.4.1

Simplifiez ${(2 x^{2} - 5)}^{2}$ .

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Étape 5.4.1.1

Réécrivez ${(2 x^{2} - 5)}^{2}$ comme $(2 x^{2} - 5) (2 x^{2} - 5)$ .

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = (2 x^{2} - 5) (2 x^{2} - 5)$

Étape 5.4.1.2

Développez $(2 x^{2} - 5) (2 x^{2} - 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.4.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = 2 x^{2} (2 x^{2} - 5) - 5 (2 x^{2} - 5)$

Étape 5.4.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = 2 x^{2} (2 x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 5 - 5 (2 x^{2} - 5)$

Étape 5.4.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = 2 x^{2} (2 x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 5 - 5 (2 x^{2}) - 5 \cdot - 5$

Étape 5.4.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.4.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = 2 \cdot 2 x^{2} x^{2} + 2 x^{2} \cdot - 5 - 5 (2 x^{2}) - 5 \cdot - 5$

Étape 5.4.1.3.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.4.1.3.1.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = 2 \cdot 2 (x^{2} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 5 - 5 (2 x^{2}) - 5 \cdot - 5$

Étape 5.4.1.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = 2 \cdot 2 x^{2 + 2} + 2 x^{2} \cdot - 5 - 5 (2 x^{2}) - 5 \cdot - 5$

Étape 5.4.1.3.1.2.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = 2 \cdot 2 x^{4} + 2 x^{2} \cdot - 5 - 5 (2 x^{2}) - 5 \cdot - 5$

Étape 5.4.1.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = 4 x^{4} + 2 x^{2} \cdot - 5 - 5 (2 x^{2}) - 5 \cdot - 5$

Étape 5.4.1.3.1.4

Multipliez $- 5$ par $2$ .

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = 4 x^{4} - 10 x^{2} - 5 (2 x^{2}) - 5 \cdot - 5$

Étape 5.4.1.3.1.5

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = 4 x^{4} - 10 x^{2} - 10 x^{2} - 5 \cdot - 5$

Étape 5.4.1.3.1.6

Multipliez $- 5$ par $- 5$ .

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = 4 x^{4} - 10 x^{2} - 10 x^{2} + 25$

Étape 5.4.1.3.2

Soustrayez $10 x^{2}$ de $- 10 x^{2}$ .

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = 4 x^{4} - 20 x^{2} + 25$

Étape 5.4.2

Factorisez $4 x' x^{2}$ à partir de $8 x' x^{4} - 60 x' x^{2}$ .

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Étape 5.4.2.1

Factorisez $4 x' x^{2}$ à partir de $8 x' x^{4}$ .

$4 x' x^{2} (2 x^{2}) - 60 x' x^{2} = 4 x^{4} - 20 x^{2} + 25$

Étape 5.4.2.2

Factorisez $4 x' x^{2}$ à partir de $- 60 x' x^{2}$ .

$4 x' x^{2} (2 x^{2}) + 4 x' x^{2} \cdot - 15 = 4 x^{4} - 20 x^{2} + 25$

Étape 5.4.2.3

Factorisez $4 x' x^{2}$ à partir de $4 x' x^{2} (2 x^{2}) + 4 x' x^{2} \cdot - 15$ .

$4 x' x^{2} (2 x^{2} - 15) = 4 x^{4} - 20 x^{2} + 25$

Étape 5.4.3

Divisez chaque terme dans $4 x' x^{2} (2 x^{2} - 15) = 4 x^{4} - 20 x^{2} + 25$ par $4 x^{2} (2 x^{2} - 15)$ et simplifiez.

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Étape 5.4.3.1

Divisez chaque terme dans $4 x' x^{2} (2 x^{2} - 15) = 4 x^{4} - 20 x^{2} + 25$ par $4 x^{2} (2 x^{2} - 15)$ .

$\frac{4 x' x^{2} (2 x^{2} - 15)}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} = \frac{4 x^{4}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{- 20 x^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Étape 5.4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.3.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.4.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x' x^{2} (2 x^{2} - 15)}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} = \frac{4 x^{4}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{- 20 x^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Étape 5.4.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x' x^{2} (2 x^{2} - 15)}{x^{2} (2 x^{2} - 15)} = \frac{4 x^{4}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{- 20 x^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Étape 5.4.3.2.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x' x^{2} (2 x^{2} - 15)}{x^{2} (2 x^{2} - 15)} = \frac{4 x^{4}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{- 20 x^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Étape 5.4.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x' (2 x^{2} - 15)}{2 x^{2} - 15} = \frac{4 x^{4}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{- 20 x^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Étape 5.4.3.2.3

Annulez le facteur commun de $2 x^{2} - 15$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x' (2 x^{2} - 15)}{2 x^{2} - 15} = \frac{4 x^{4}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{- 20 x^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Étape 5.4.3.2.3.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{4 x^{4}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{- 20 x^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Étape 5.4.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.3.3.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.4.3.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$x' = \frac{4 x^{4}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{- 20 x^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Étape 5.4.3.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x' = \frac{x^{4}}{x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{- 20 x^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Étape 5.4.3.3.1.2

Annulez le facteur commun à $x^{4}$ et $x^{2}$ .

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Étape 5.4.3.3.1.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4}$ .

$x' = \frac{x^{2} x^{2}}{x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{- 20 x^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Étape 5.4.3.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.3.3.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$x' = \frac{x^{2} x^{2}}{x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{- 20 x^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Étape 5.4.3.3.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$x' = \frac{x^{2}}{2 x^{2} - 15} + \frac{- 20 x^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Étape 5.4.3.3.1.3

Annulez le facteur commun à $- 20$ et $4$ .

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Étape 5.4.3.3.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $- 20 x^{2}$ .

$x' = \frac{x^{2}}{2 x^{2} - 15} + \frac{4 (- 5 x^{2})}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Étape 5.4.3.3.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.3.3.1.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2} (2 x^{2} - 15)$ .

$x' = \frac{x^{2}}{2 x^{2} - 15} + \frac{4 (- 5 x^{2})}{4 (x^{2} (2 x^{2} - 15))} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Étape 5.4.3.3.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$x' = \frac{x^{2}}{2 x^{2} - 15} + \frac{4 (- 5 x^{2})}{4 (x^{2} (2 x^{2} - 15))} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Étape 5.4.3.3.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$x' = \frac{x^{2}}{2 x^{2} - 15} + \frac{- 5 x^{2}}{x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Étape 5.4.3.3.1.4

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 5.4.3.3.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$x' = \frac{x^{2}}{2 x^{2} - 15} + \frac{- 5 x^{2}}{x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Étape 5.4.3.3.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$x' = \frac{x^{2}}{2 x^{2} - 15} + \frac{- 5}{2 x^{2} - 15} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Étape 5.4.3.3.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$x' = \frac{x^{2}}{2 x^{2} - 15} - \frac{5}{2 x^{2} - 15} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Étape 5.4.3.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x' = \frac{x^{2} - 5}{2 x^{2} - 15} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Étape 5.4.3.3.3

Pour écrire $\frac{x^{2} - 5}{2 x^{2} - 15}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4 x^{2}}{4 x^{2}}$ .

$x' = \frac{x^{2} - 5}{2 x^{2} - 15} \cdot \frac{4 x^{2}}{4 x^{2}} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Étape 5.4.3.3.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(2 x^{2} - 15) \cdot 4 x^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.4.3.3.4.1

Multipliez $\frac{x^{2} - 5}{2 x^{2} - 15}$ par $\frac{4 x^{2}}{4 x^{2}}$ .

$x' = \frac{(x^{2} - 5) (4 x^{2})}{(2 x^{2} - 15) (4 x^{2})} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Étape 5.4.3.3.4.2

Réorganisez les facteurs de $(2 x^{2} - 15) (4 x^{2})$ .

$x' = \frac{(x^{2} - 5) (4 x^{2})}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Étape 5.4.3.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x' = \frac{(x^{2} - 5) (4 x^{2}) + 25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Étape 5.4.3.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.3.3.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$x' = \frac{(x^{2} \cdot 4 - 5 \cdot 4) x^{2} + 25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Étape 5.4.3.3.6.2

Déplacez $4$ à gauche de $x^{2}$ .

$x' = \frac{(4 \cdot x^{2} - 5 \cdot 4) x^{2} + 25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Étape 5.4.3.3.6.3

Multipliez $- 5$ par $4$ .

$x' = \frac{(4 \cdot x^{2} - 20) x^{2} + 25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Étape 5.4.3.3.6.4

Appliquez la propriété distributive.

$x' = \frac{4 x^{2} x^{2} - 20 x^{2} + 25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Étape 5.4.3.3.6.5

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.4.3.3.6.5.1

Déplacez $x^{2}$ .

$x' = \frac{4 (x^{2} x^{2}) - 20 x^{2} + 25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Étape 5.4.3.3.6.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x' = \frac{4 x^{2 + 2} - 20 x^{2} + 25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Étape 5.4.3.3.6.5.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$x' = \frac{4 x^{4} - 20 x^{2} + 25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Étape 5.4.3.3.6.6

Réécrivez $4 x^{4} - 20 x^{2} + 25$ en forme factorisée.

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Étape 5.4.3.3.6.6.1

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$x' = \frac{4 {(x^{2})}^{2} - 20 x^{2} + 25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Étape 5.4.3.3.6.6.2

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$x' = \frac{4 u^{2} - 20 u + 25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Étape 5.4.3.3.6.6.3

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 5.4.3.3.6.6.3.1

Réécrivez $4 u^{2}$ comme ${(2 u)}^{2}$ .

$x' = \frac{{(2 u)}^{2} - 20 u + 25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Étape 5.4.3.3.6.6.3.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$x' = \frac{{(2 u)}^{2} - 20 u + 5^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Étape 5.4.3.3.6.6.3.3

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$20 u = 2 \cdot (2 u) \cdot 5$

Étape 5.4.3.3.6.6.3.4

Réécrivez le polynôme.

$x' = \frac{{(2 u)}^{2} - 2 \cdot (2 u) \cdot 5 + 5^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Étape 5.4.3.3.6.6.3.5

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = 2 u$ et $b = 5$ .

$x' = \frac{{(2 u - 5)}^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Étape 5.4.3.3.6.6.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$x' = \frac{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$