Calcul infinitésimal Exemples

$2 e^{2 x} - e^{- x}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 e^{2 x} - e^{- x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$ .

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Étape 2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 e^{2 x}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 x$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$2 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Étape 2.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Étape 2.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Étape 2.6

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 x}$ .

$2 (2 \cdot e^{2 x}) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Étape 2.7

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

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Étape 3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- e^{- x}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$4 e^{2 x} - \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- x$ .

$4 e^{2 x} - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$4 e^{2 x} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- x$ .

$4 e^{2 x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 e^{2 x} - (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 e^{2 x} - (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Étape 3.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$4 e^{2 x} - (e^{- x} \cdot - 1)$

Étape 3.6

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$4 e^{2 x} - (- 1 \cdot e^{- x})$

Étape 3.7

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$4 e^{2 x} - - e^{- x}$

Étape 3.8

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$4 e^{2 x} + 1 e^{- x}$

Étape 3.9

Multipliez $e^{- x}$ par $1$ .

$4 e^{2 x} + e^{- x}$