Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sqrt{x^{2} + 2 x - 1}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} + 2 x - 1}$ comme ${(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 3

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x^{2} + 2 x - 1$ .

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Étape 4.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 2 x - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1]$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1]$

Étape 4.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 2 x - 1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1]$

Étape 4.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1]$

Étape 4.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1]$

Étape 4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1]$

Étape 4.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1]$

Étape 4.5.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1]$

Étape 4.6

Associez les fractions.

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Étape 4.6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1]$

Étape 4.6.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x^{2} + 2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1]$

Étape 4.6.3

Placez ${(x^{2} + 2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1]$

Étape 4.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 2 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 4.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 4.9

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 4.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 4.11

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 4.12

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2 + 0)$

Étape 4.13

Additionnez $2 x + 2$ et $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2)$

Étape 4.14

Simplifiez

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Étape 4.14.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2)$ .

$(2 x + 2) \frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.14.2

Multipliez $2 x + 2$ par $\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x + 2}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.14.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{2 (x) + 2}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.14.4

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (x) + 2 \cdot 1}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.14.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (x) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (x + 1)}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.14.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.14.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (x + 1)}{2 ({(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 4.14.6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (x + 1)}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.14.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 1}{{(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{x + 1}{{(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 1}{{(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$