Calcul infinitésimal Exemples

Trouver le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle f(x)=|x|-3|x+1| , [-2,2]
,
Étape 1
Déterminez les points critiques.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1
Déterminez la dérivée première.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1
Déterminez la dérivée première.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.1.2
La dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.1.3
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1.3.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.1.3.2
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1.3.2.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 1.1.1.3.2.2
La dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.1.3.2.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 1.1.1.3.3
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.1.3.4
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.1.1.3.5
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.1.3.6
Additionnez et .
Étape 1.1.1.3.7
Multipliez par .
Étape 1.1.1.3.8
Associez et .
Étape 1.1.1.3.9
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 1.1.2
La dérivée première de par rapport à est .
Étape 1.2
Définissez la dérivée première égale à puis résolvez l’équation .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.1
Définissez la dérivée première égale à .
Étape 1.2.2
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 1.2.3
Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.3.1
Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.
Étape 1.2.3.2
Comme contient des nombres et des variables, deux étapes sont nécessaires pour déterminer le plus petit multiple commun. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie numérique puis déterminez le plus petit multiple commun pour la partie variable .
Étape 1.2.3.3
Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.
1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.
2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.
Étape 1.2.3.4
Le nombre n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.
Pas premier
Étape 1.2.3.5
Le plus petit multiple commun de est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.
Étape 1.2.3.6
Le facteur pour est lui-même.
se produit fois.
Étape 1.2.3.7
Le facteur pour est lui-même.
se produit fois.
Étape 1.2.3.8
Le plus petit multiple commun de est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.
Étape 1.2.4
Multiplier chaque terme dans par afin d’éliminer les fractions.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.4.1
Multipliez chaque terme dans par .
Étape 1.2.4.2
Simplifiez le côté gauche.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.4.2.1
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.4.2.1.1
Placez le signe négatif initial dans dans le numérateur.
Étape 1.2.4.2.1.2
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.4.2.1.3
Annulez le facteur commun.
Étape 1.2.4.2.1.4
Réécrivez l’expression.
Étape 1.2.4.2.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.2.4.2.3
Multipliez par .
Étape 1.2.4.2.4
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.2.4.3
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.4.3.1
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.4.3.1.1
Placez le signe négatif initial dans dans le numérateur.
Étape 1.2.4.3.1.2
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.4.3.1.3
Annulez le facteur commun.
Étape 1.2.4.3.1.4
Réécrivez l’expression.
Étape 1.2.5
Résolvez l’équation.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.5.1
Réécrivez l’équation comme .
Étape 1.2.5.2
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.5.2.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 1.2.5.2.2
Simplifiez le côté gauche.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.5.2.2.1
La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.
Étape 1.2.5.2.2.2
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.5.2.2.2.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.2.5.2.2.2.2
Divisez par .
Étape 1.2.5.2.3
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.5.2.3.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.5.2.3.1.1
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.5.2.3.1.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.2.5.2.3.1.1.2
Réécrivez l’expression.
Étape 1.2.5.2.3.1.1.3
Déplacez le moins un du dénominateur de .
Étape 1.2.5.2.3.1.2
Réécrivez comme .
Étape 1.2.5.2.3.1.3
Multipliez par .
Étape 1.2.5.2.3.1.4
La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.
Étape 1.2.6
Résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.6.1
Réécrivez l’équation comme .
Étape 1.2.6.2
Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.6.2.1
Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.
Étape 1.2.6.2.2
Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.
Étape 1.2.6.3
Multiplier chaque terme dans par afin d’éliminer les fractions.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.6.3.1
Multipliez chaque terme dans par .
Étape 1.2.6.3.2
Simplifiez le côté gauche.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.6.3.2.1
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.6.3.2.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.2.6.3.2.1.2
Réécrivez l’expression.
Étape 1.2.6.4
Résolvez l’équation.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.6.4.1
Factorisez à partir de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.6.4.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.6.4.1.2
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.6.4.1.3
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.6.4.2
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.6.4.2.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 1.2.6.4.2.2
Simplifiez le côté gauche.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.6.4.2.2.1
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.6.4.2.2.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.2.6.4.2.2.1.2
Réécrivez l’expression.
Étape 1.2.6.4.2.2.2
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.6.4.2.2.2.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.2.6.4.2.2.2.2
Divisez par .
Étape 1.2.7
Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un du côté droit de l’équation car .
Étape 1.2.8
Le résultat se compose des parties positive et négative de .
Étape 1.2.9
Résolvez pour .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.9.1
Résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.9.1.1
Réécrivez l’équation comme .
Étape 1.2.9.1.2
Multipliez les deux côtés par .
Étape 1.2.9.1.3
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.9.1.3.1
Simplifiez le côté gauche.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.9.1.3.1.1
Simplifiez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.9.1.3.1.1.1
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 1.2.9.1.3.1.1.2
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.9.1.3.1.1.2.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.2.9.1.3.1.1.2.2
Réécrivez l’expression.
Étape 1.2.9.1.3.1.1.3
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.9.1.3.1.1.3.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.2.9.1.3.1.1.3.2
Réécrivez l’expression.
Étape 1.2.9.1.3.2
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.9.1.3.2.1
Simplifiez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.9.1.3.2.1.1
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 1.2.9.1.3.2.1.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.2.9.1.3.2.1.3
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.9.1.3.2.1.3.1
Déplacez .
Étape 1.2.9.1.3.2.1.3.2
Multipliez par .
Étape 1.2.9.1.3.2.1.4
Multipliez par .
Étape 1.2.9.1.4
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.9.1.4.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 1.2.9.1.4.2
Simplifiez le côté gauche.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.9.1.4.2.1
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.9.1.4.2.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.2.9.1.4.2.1.2
Divisez par .
Étape 1.2.9.1.4.3
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.9.1.4.3.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.9.1.4.3.1.1
Annulez le facteur commun à et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.9.1.4.3.1.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.9.1.4.3.1.1.2
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.9.1.4.3.1.1.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 1.2.9.1.4.3.1.1.2.2
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.9.1.4.3.1.1.2.3
Annulez le facteur commun.
Étape 1.2.9.1.4.3.1.1.2.4
Réécrivez l’expression.
Étape 1.2.9.1.4.3.1.1.2.5
Divisez par .
Étape 1.2.9.1.4.3.1.2
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.9.1.4.3.1.2.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.2.9.1.4.3.1.2.2
Divisez par .
Étape 1.2.9.2
Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un du côté droit de l’équation car .
Étape 1.2.9.3
Le résultat se compose des parties positive et négative de .
Étape 1.2.9.4
Résolvez pour .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.9.4.1
Déplacez tous les termes contenant du côté gauche de l’équation.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.9.4.1.1
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 1.2.9.4.1.2
Soustrayez de .
Étape 1.2.9.4.2
Déplacez tous les termes ne contenant pas du côté droit de l’équation.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.9.4.2.1
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 1.2.9.4.2.2
Soustrayez de .
Étape 1.2.9.4.3
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.9.4.3.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 1.2.9.4.3.2
Simplifiez le côté gauche.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.9.4.3.2.1
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.9.4.3.2.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.2.9.4.3.2.1.2
Divisez par .
Étape 1.2.9.4.3.3
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.9.4.3.3.1
Divisez par .
Étape 1.2.9.5
Consolidez les solutions.
Étape 1.2.10
Déterminez le domaine de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.10.1
Définissez le dénominateur dans égal à pour déterminer où l’expression est indéfinie.
Étape 1.2.10.2
Résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.10.2.1
Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un du côté droit de l’équation car .
Étape 1.2.10.2.2
Plus ou moins est .
Étape 1.2.10.3
Définissez le dénominateur dans égal à pour déterminer où l’expression est indéfinie.
Étape 1.2.10.4
Résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.10.4.1
Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un du côté droit de l’équation car .
Étape 1.2.10.4.2
Plus ou moins est .
Étape 1.2.10.4.3
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 1.2.10.5
Le domaine est l’ensemble des valeurs de qui rendent l’expression définie.
Étape 1.2.11
Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.
Étape 1.2.12
Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.12.1
Testez une valeur sur l’intervalle pour voir si elle rend vraie l’inégalité.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.12.1.1
Choisissez une valeur sur l’intervalle et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.
Étape 1.2.12.1.2
Remplacez par dans l’inégalité d’origine.
Étape 1.2.12.1.3
Le côté gauche n’est pas égal au côté droit , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.
Faux
Faux
Étape 1.2.12.2
Testez une valeur sur l’intervalle pour voir si elle rend vraie l’inégalité.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.12.2.1
Choisissez une valeur sur l’intervalle et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.
Étape 1.2.12.2.2
Remplacez par dans l’inégalité d’origine.
Étape 1.2.12.2.3
Le côté gauche n’est pas égal au côté droit , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.
Faux
Faux
Étape 1.2.12.3
Testez une valeur sur l’intervalle pour voir si elle rend vraie l’inégalité.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.12.3.1
Choisissez une valeur sur l’intervalle et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.
Étape 1.2.12.3.2
Remplacez par dans l’inégalité d’origine.
Étape 1.2.12.3.3
Le côté gauche n’est pas égal au côté droit , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.
Faux
Faux
Étape 1.2.12.4
Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.
Faux
Faux
Faux
Faux
Faux
Faux
Étape 1.2.13
Comme aucun nombre ne se trouve dans l’intervalle, l’inégalité n’a pas de solution.
Aucune solution
Aucune solution
Étape 1.3
Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.1
Définissez le dénominateur dans égal à pour déterminer où l’expression est indéfinie.
Étape 1.3.2
Résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.2.1
Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un du côté droit de l’équation car .
Étape 1.3.2.2
Plus ou moins est .
Étape 1.3.3
Définissez le dénominateur dans égal à pour déterminer où l’expression est indéfinie.
Étape 1.3.4
Résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.4.1
Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un du côté droit de l’équation car .
Étape 1.3.4.2
Plus ou moins est .
Étape 1.3.4.3
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 1.3.5
L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à , l’argument d’une racine carrée est inférieur à ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à .
Étape 1.4
Évaluez sur chaque valeur où la dérivée est ou indéfinie.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1
Évaluez sur .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.1
Remplacez par .
Étape 1.4.1.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.2.1.1
La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre et est .
Étape 1.4.1.2.1.2
Additionnez et .
Étape 1.4.1.2.1.3
La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre et est .
Étape 1.4.1.2.1.4
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.2
Additionnez et .
Étape 1.4.2
Évaluez sur .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.2.1
Remplacez par .
Étape 1.4.2.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.2.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.2.2.1.1
La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre et est .
Étape 1.4.2.2.1.2
Additionnez et .
Étape 1.4.2.2.1.3
La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre et est .
Étape 1.4.2.2.1.4
Multipliez par .
Étape 1.4.2.2.2
Soustrayez de .
Étape 1.4.3
Indiquez tous les points.
Étape 2
Évaluez sur les points finaux inclus.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1
Évaluez sur .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.1
Remplacez par .
Étape 2.1.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.1.1
La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre et est .
Étape 2.1.2.1.2
Additionnez et .
Étape 2.1.2.1.3
La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre et est .
Étape 2.1.2.1.4
Multipliez par .
Étape 2.1.2.2
Soustrayez de .
Étape 2.2
Évaluez sur .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.1
Remplacez par .
Étape 2.2.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.2.1.1
La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre et est .
Étape 2.2.2.1.2
Additionnez et .
Étape 2.2.2.1.3
La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre et est .
Étape 2.2.2.1.4
Multipliez par .
Étape 2.2.2.2
Soustrayez de .
Étape 2.3
Indiquez tous les points.
Étape 3
Comparez les valeurs trouvées pour chaque valeur de afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur la plus haute et le minimum intervient sur la valeur la plus basse.
Maximum absolu :
Minimum absolu :
Étape 4