Calcul infinitésimal Exemples

Let $h (x) = e^{2 x - 6} - e$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{2 x - 6} - e$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{2 x - 6}] + \frac{d}{d x} [- e]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x - 6}] + \frac{d}{d x} [- e]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{2 x - 6}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x - 6$ .

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Étape 1.1.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x - 6$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x - 6] + \frac{d}{d x} [- e]$

Étape 1.1.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [2 x - 6] + \frac{d}{d x} [- e]$

Étape 1.1.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x - 6$ .

$e^{2 x - 6} \frac{d}{d x} [2 x - 6] + \frac{d}{d x} [- e]$

Étape 1.1.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$e^{2 x - 6} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6]) + \frac{d}{d x} [- e]$

Étape 1.1.2.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x - 6} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) + \frac{d}{d x} [- e]$

Étape 1.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{2 x - 6} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]) + \frac{d}{d x} [- e]$

Étape 1.1.2.5

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{2 x - 6} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- e]$

Étape 1.1.2.6

Multipliez $2$ par $1$ .

$e^{2 x - 6} (2 + 0) + \frac{d}{d x} [- e]$

Étape 1.1.2.7

Additionnez $2$ et $0$ .

$e^{2 x - 6} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- e]$

Étape 1.1.2.8

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 x - 6}$ .

$2 e^{2 x - 6} + \frac{d}{d x} [- e]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.3.1

Comme $- e$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- e$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 e^{2 x - 6} + 0$

Étape 1.1.3.2

Additionnez $2 e^{2 x - 6}$ et $0$ .

$f' (x) = 2 e^{2 x - 6}$

Étape 1.2

La dérivée première de $h (x)$ par rapport à $x$ est $2 e^{2 x - 6}$ .

$2 e^{2 x - 6}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 e^{2 x - 6} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$2 e^{2 x - 6} = 0$

Étape 2.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (2 e^{2 x - 6}) = \ln (0)$

Étape 2.3

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 2.4

Il n’y a pas de solution pour $2 e^{2 x - 6} = 0$

Aucune solution

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Le domaine du problème d’origine ne comprend aucune valeur de $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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