Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{2} 2 x (1 + x^{2}) d x$

Étape 1

Laissez $u = 1 + x^{2}$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2 x} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 1 + x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Étape 1.1.5

Additionnez $0$ et $2 x$ .

$2 x$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 1 + x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 + 1^{2}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u_{lower} = 1 + 1$

Étape 1.3.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$u_{lower} = 2$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 1 + x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 + 2^{2}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$u_{upper} = 1 + 4$

Étape 1.5.2

Additionnez $1$ et $4$ .

$u_{upper} = 5$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 5$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{2}^{5} u d u$

Étape 2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{2}^{5}$

Étape 3

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.1

Évaluez $\frac{1}{2} u^{2}$ sur $5$ et sur $2$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 5^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 2^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 25 - \frac{1}{2} \cdot 2^{2}$

Étape 3.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $25$ .

$\frac{25}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2^{2}$

Étape 3.2.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{25}{2} - \frac{1}{2} \cdot 4$

Étape 3.2.4

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{25}{2} - 4 (\frac{1}{2})$

Étape 3.2.5

Associez $- 4$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{25}{2} + \frac{- 4}{2}$

Étape 3.2.6

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 3.2.6.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$\frac{25}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2}$

Étape 3.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{25}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Étape 3.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{25}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Étape 3.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{25}{2} + \frac{- 2}{1}$

Étape 3.2.6.2.4

Divisez $- 2$ par $1$ .

$\frac{25}{2} - 2$

Étape 3.2.7

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{25}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 3.2.8

Associez $- 2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{25}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}$

Étape 3.2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{25 - 2 \cdot 2}{2}$

Étape 3.2.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.10.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{25 - 4}{2}$

Étape 3.2.10.2

Soustrayez $4$ de $25$ .

$\frac{21}{2}$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{21}{2}$

Forme décimale :

$10.5$

Forme de nombre mixte :

$10 \frac{1}{2}$

Étape 5