Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{e^{- x}}{x + 1}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = e^{- x}$ et $g (x) = x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [e^{- x}] - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x$ .

$\frac{(x + 1) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{(x + 1) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$\frac{(x + 1) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x + 1) e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) e^{- x} (- 1 \cdot 1) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{(x + 1) e^{- x} \cdot - 1 - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $(x + 1) e^{- x}$ .

$\frac{- 1 \cdot ((x + 1) e^{- x}) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.3

Réécrivez $- 1 (x + 1)$ comme $- (x + 1)$ .

$\frac{- (x + 1) e^{- x} - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{- (x + 1) e^{- x} - e^{- x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{- (x + 1) e^{- x} - e^{- x} (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.6

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{- (x + 1) e^{- x} - e^{- x} (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.7.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{- (x + 1) e^{- x} - e^{- x} \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.7.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- (x + 1) e^{- x} - e^{- x}}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(- x - 1 \cdot 1) e^{- x} - e^{- x}}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- x e^{- x} - 1 \cdot 1 e^{- x} - e^{- x}}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- x e^{- x} - 1 e^{- x} - e^{- x}}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 4.3.1.2

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$\frac{- x e^{- x} - e^{- x} - e^{- x}}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 4.3.2

Soustrayez $e^{- x}$ de $- e^{- x}$ .

$\frac{- x e^{- x} - 2 e^{- x}}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- e^{- x} x - 2 e^{- x}}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 4.5

Factorisez $e^{- x}$ à partir de $- e^{- x} x - 2 e^{- x}$ .

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Étape 4.5.1

Factorisez $e^{- x}$ à partir de $- e^{- x} x$ .

$\frac{e^{- x} (- x) - 2 e^{- x}}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 4.5.2

Factorisez $e^{- x}$ à partir de $- 2 e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot - 2}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 4.5.3

Factorisez $e^{- x}$ à partir de $e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot - 2$ .

$\frac{e^{- x} (- x - 2)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{e^{- x} (- (x) - 2)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 4.7

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$\frac{e^{- x} (- (x) - 1 (2))}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 4.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (2)$ .

$\frac{e^{- x} (- (x + 2))}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 4.9

Réécrivez $- (x + 2)$ comme $- 1 (x + 2)$ .

$\frac{e^{- x} (- 1 (x + 2))}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 4.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{e^{- x} (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}$