Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{x - 5}{- 2 x + 2} d x$

Étape 1

Divisez $x - 5$ par $- 2 x + 2$ .

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Étape 1.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$2 x$

$2$

$x$

$5$

Étape 1.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $- 2 x$ .

				-	$\frac{1}{2}$
-	$2 x$	+	$2$		$x$	-	$5$

Étape 1.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				-	$\frac{1}{2}$
-	$2 x$	+	$2$		$x$	-	$5$
				+	$x$	-	$1$

Étape 1.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x - 1$

				-	$\frac{1}{2}$
-	$2 x$	+	$2$		$x$	-	$5$
				-	$x$	+	$1$

Étape 1.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				-	$\frac{1}{2}$
-	$2 x$	+	$2$		$x$	-	$5$
				-	$x$	+	$1$
						-	$4$

Étape 1.6

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\int - \frac{1}{2} - \frac{4}{- 2 x + 2} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int - \frac{1}{2} d x + \int - \frac{4}{- 2 x + 2} d x$

Étape 3

Annulez le facteur commun à $4$ et $- 2 x + 2$ .

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Étape 3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\int - \frac{1}{2} d x + \int - \frac{2 \cdot 2}{- 2 x + 2} d x$

Étape 3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$\int - \frac{1}{2} d x + \int - \frac{2 \cdot 2}{2 (- x) + 2} d x$

Étape 3.2.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\int - \frac{1}{2} d x + \int - \frac{2 \cdot 2}{2 (- x) + 2 (1)} d x$

Étape 3.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x) + 2 (1)$ .

$\int - \frac{1}{2} d x + \int - \frac{2 \cdot 2}{2 (- x + 1)} d x$

Étape 3.2.4

Annulez le facteur commun.

$\int - \frac{1}{2} d x + \int - \frac{2 \cdot 2}{2 (- x + 1)} d x$

Étape 3.2.5

Réécrivez l’expression.

$\int - \frac{1}{2} d x + \int - \frac{2}{- x + 1} d x$

Étape 4

Appliquez la règle de la constante.

$- \frac{1}{2} x + C + \int - \frac{2}{- x + 1} d x$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{2} x + C - \int \frac{2}{- x + 1} d x$

Étape 6

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{2} x + C - (2 \int \frac{1}{- x + 1} d x)$

Étape 7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{2} x + C - 2 \int \frac{1}{- x + 1} d x$

Étape 8

Laissez $u = - x + 1$ . Alors $d u = - d x$ , donc $- d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 8.1

Laissez $u = - x + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 8.1.1

Réécrivez.

$\frac{- 1}{1}$

Étape 8.1.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 8.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$- \frac{1}{2} x + C - 2 \int \frac{- 1}{u} d u$

Étape 9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2} x + C - 2 \int - \frac{1}{u} d u$

Étape 10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{2} x + C - 2 (- \int \frac{1}{u} d u)$

Étape 11

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$- \frac{1}{2} x + C + 2 \int \frac{1}{u} d u$

Étape 12

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{2} x + C + 2 (\ln (| u |) + C)$

Étape 13

Simplifiez

$- \frac{1}{2} x + 2 \ln (| u |) + C$

Étape 14

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x + 1$ .

$- \frac{1}{2} x + 2 \ln (| - x + 1 |) + C$