Calcul infinitésimal Exemples

$2 x + 4 x^{3} + \sqrt{x^{3}} + 8$

Étape 1

Écrivez $2 x + 4 x^{3} + \sqrt{x^{3}} + 8$ comme une fonction.

$f (x) = 2 x + 4 x^{3} + \sqrt{x^{3}} + 8$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int 2 x + 4 x^{3} + \sqrt{x^{3}} + 8 d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 2 x d x + \int 4 x^{3} d x + \int \sqrt{x^{3}} d x + \int 8 d x$

Étape 5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int x d x + \int 4 x^{3} d x + \int \sqrt{x^{3}} d x + \int 8 d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 4 x^{3} d x + \int \sqrt{x^{3}} d x + \int 8 d x$

Étape 7

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 \int x^{3} d x + \int \sqrt{x^{3}} d x + \int 8 d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int \sqrt{x^{3}} d x + \int 8 d x$

Étape 9

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{3}}$ comme $x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int x^{\frac{3}{2}} d x + \int 8 d x$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int 8 d x$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int 8 d x$

Étape 11.2

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int 8 d x$

Étape 12

Appliquez la règle de la constante.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + 8 x + C$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

Simplifiez

$x^{2} + x^{4} + \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + 8 x + C$

Étape 13.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$x^{2} + x^{4} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + 8 x + C$

Étape 14

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = 2 x + 4 x^{3} + \sqrt{x^{3}} + 8$ .

$F (x) =$ $x^{2} + x^{4} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + 8 x + C$