Calcul infinitésimal Exemples

$\int 3 x {(x + 6)}^{2} d x$

Étape 1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int x {(x + 6)}^{2} d x$

Étape 2

Laissez $u = x + 6$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = x + 6$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $x + 6$ .

$\frac{d}{d x} [x + 6]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 2.1.4

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$3 \int (u - 6) u^{2} d u$

Étape 3

Développez $(u - 6) u^{2}$ .

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 \int u \cdot u^{2} - 6 u^{2} d u$

Étape 3.2

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$3 \int u^{1} u^{2} - 6 u^{2} d u$

Étape 3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 \int u^{1 + 2} - 6 u^{2} d u$

Étape 3.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$3 \int u^{3} - 6 u^{2} d u$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$3 (\int u^{3} d u + \int - 6 u^{2} d u)$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{3}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$3 (\frac{1}{4} u^{4} + C + \int - 6 u^{2} d u)$

Étape 6

Comme $- 6$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 6$ en dehors de l’intégrale.

$3 (\frac{1}{4} u^{4} + C - 6 \int u^{2} d u)$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$3 (\frac{1}{4} u^{4} + C - 6 (\frac{1}{3} u^{3} + C))$

Étape 8

Simplifiez

$3 (\frac{u^{4}}{4} - 2 u^{3}) + C$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 6$ .

$3 (\frac{{(x + 6)}^{4}}{4} - 2 {(x + 6)}^{3}) + C$

Étape 10

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 (\frac{1}{4} {(x + 6)}^{4} - 2 {(x + 6)}^{3}) + C$