Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{4}^{8} \frac{1}{x \ln (x^{2})} d x$

Étape 1

Réécrivez $\frac{1}{x \ln (x^{2})}$ comme $\frac{1}{x (2 \ln (x))}$ .

$\int_{4}^{8} \frac{1}{x (2 \ln (x))} d x$

Étape 2

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{8} \frac{1}{x (\ln (x))} d x$

Étape 3

Laissez $u = \ln (x)$ . Alors $d u = \frac{1}{x} d x$ , donc $x d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = \ln (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 3.1.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Étape 3.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (4)$

Étape 3.3

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (8)$

Étape 3.4

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = \ln (4)$

$u_{upper} = \ln (8)$

Étape 3.5

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\frac{1}{2} \int_{\ln (4)}^{\ln (8)} \frac{1}{u} d u$

Étape 4

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u |)]_{\ln (4)}^{\ln (8)}$

Étape 5

Évaluez $\ln (| u |)$ sur $\ln (8)$ et sur $\ln (4)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| \ln (8) |) - \ln (| \ln (4) |))$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| \ln (8) |}{| \ln (4) |})$

Étape 6.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (\frac{| \ln (8) |}{| \ln (4) |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| \ln (8) |}{| \ln (4) |})}{2}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

$\ln (8)$ est d’environ $2.07944154$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{\ln (\frac{\ln (8)}{| \ln (4) |})}{2}$

Étape 7.2

$\ln (4)$ est d’environ $1.38629436$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{\ln (\frac{\ln (8)}{\ln (4)})}{2}$

Étape 7.3

Réécrivez $\ln (8)$ comme $\ln (2^{3})$ .

$\frac{\ln (\frac{\ln (2^{3})}{\ln (4)})}{2}$

Étape 7.4

Développez $\ln (2^{3})$ en déplaçant $3$ hors du logarithme.

$\frac{\ln (\frac{3 \ln (2)}{\ln (4)})}{2}$

Étape 7.5

Réécrivez $\ln (4)$ comme $\ln (2^{2})$ .

$\frac{\ln (\frac{3 \ln (2)}{\ln (2^{2})})}{2}$

Étape 7.6

Développez $\ln (2^{2})$ en déplaçant $2$ hors du logarithme.

$\frac{\ln (\frac{3 \ln (2)}{2 \ln (2)})}{2}$

Étape 7.7

Annulez le facteur commun de $\ln (2)$ .

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Étape 7.7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\ln (\frac{3 \ln (2)}{2 \ln (2)})}{2}$

Étape 7.7.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\ln (\frac{3}{2})}{2}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\ln (\frac{3}{2})}{2}$

Forme décimale :

$0.20273255 \dots$