Calcul infinitésimal Exemples

$y = x - x \sin (x)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x - x \sin (x))$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez.

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Étape 3.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - x \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x \sin (x)]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- x \sin (x)]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x \sin (x)]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$1 - (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.2.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$1 - (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 - (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1)$

Étape 3.2.5

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$1 - (x \cos (x) + \sin (x))$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 - (x \cos (x)) - \sin (x)$

Étape 3.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$1 - x \cos (x) - \sin (x)$

Étape 3.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- x \cos (x) + 1 - \sin (x)$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = - x \cos (x) + 1 - \sin (x)$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - x \cos (x) + 1 - \sin (x)$