Calcul infinitésimal Exemples

$(x + x^{2}) e^{- 2 x}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x + x^{2}$ et $g (x) = e^{- 2 x}$ .

$(x + x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x + x^{2}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 2 x$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 2 x$ .

$(x + x^{2}) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x + x^{2}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$(x + x^{2}) (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x + x^{2}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 2 x$ .

$(x + x^{2}) (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x + x^{2}]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x + x^{2}) e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x + x^{2}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x + x^{2}) e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x + x^{2}]$

Étape 3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$(x + x^{2}) e^{- 2 x} \cdot - 2 + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x + x^{2}]$

Étape 3.3.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $(x + x^{2}) e^{- 2 x}$ .

$- 2 \cdot ((x + x^{2}) e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x + x^{2}]$

Étape 3.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 (x + x^{2}) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 (x + x^{2}) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (1 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 2 (x + x^{2}) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (1 + 2 x)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$(- 2 x - 2 x^{2}) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (1 + 2 x)$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 x e^{- 2 x} - 2 x^{2} e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (1 + 2 x)$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 x e^{- 2 x} - 2 x^{2} e^{- 2 x} + e^{- 2 x} \cdot 1 + e^{- 2 x} (2 x)$

Étape 4.4

Associez des termes.

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Étape 4.4.1

Multipliez $e^{- 2 x}$ par $1$ .

$- 2 x e^{- 2 x} - 2 x^{2} e^{- 2 x} + e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (2 x)$

Étape 4.4.2

Additionnez $- 2 x e^{- 2 x}$ et $e^{- 2 x} (2 x)$ .

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Étape 4.4.2.1

Déplacez $e^{- 2 x}$ .

$- 2 x^{2} e^{- 2 x} + e^{- 2 x} - 2 x e^{- 2 x} + 2 x e^{- 2 x}$

Étape 4.4.2.2

Additionnez $- 2 x e^{- 2 x}$ et $2 x e^{- 2 x}$ .

$- 2 x^{2} e^{- 2 x} + e^{- 2 x} + 0$

Étape 4.4.3

Additionnez $- 2 x^{2} e^{- 2 x} + e^{- 2 x}$ et $0$ .

$- 2 x^{2} e^{- 2 x} + e^{- 2 x}$

Étape 4.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 2 e^{- 2 x} x^{2} + e^{- 2 x}$

Étape 4.6

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 2 e^{- 2 x} x^{2} + e^{- 2 x}$ .

$- 2 x^{2} e^{- 2 x} + e^{- 2 x}$