Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (| x^{2} - 1 |)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = | x^{2} - 1 |$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $| x^{2} - 1 |$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| x^{2} - 1 |]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| x^{2} - 1 |]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $| x^{2} - 1 |$ .

$\frac{1}{| x^{2} - 1 |} \frac{d}{d x} [| x^{2} - 1 |]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = | x |$ et $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{2} - 1$ .

$\frac{1}{| x^{2} - 1 |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Étape 2.2

La dérivée de $| u_{2} |$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ .

$\frac{1}{| x^{2} - 1 |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{2} - 1$ .

$\frac{1}{| x^{2} - 1 |} (\frac{x^{2} - 1}{| x^{2} - 1 |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Étape 3

Multipliez $\frac{x^{2} - 1}{| x^{2} - 1 |}$ par $\frac{1}{| x^{2} - 1 |}$ .

$\frac{x^{2} - 1}{| x^{2} - 1 | | x^{2} - 1 |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Étape 4

Pour multiplier des valeurs absolues, multipliez les termes à l’intérieur de chaque valeur absolue.

$\frac{x^{2} - 1}{| (x^{2} - 1) (x^{2} - 1) |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Étape 5

Élevez $x^{2} - 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{2} - 1}{| {(x^{2} - 1)}^{1} (x^{2} - 1) |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Étape 6

Élevez $x^{2} - 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{2} - 1}{| {(x^{2} - 1)}^{1} {(x^{2} - 1)}^{1} |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Étape 7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{2} - 1}{| {(x^{2} - 1)}^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Étape 8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x^{2} - 1}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Étape 9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x^{2} - 1}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 1}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{2} - 1}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |} (2 x + 0)$

Étape 12

Associez les fractions.

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Étape 12.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{x^{2} - 1}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |} (2 x)$

Étape 12.2

Associez $2$ et $\frac{x^{2} - 1}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 1)}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |} x$

Étape 12.3

Associez $\frac{2 (x^{2} - 1)}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$ et $x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 1) x}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 1) x}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$

Étape 13.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$

Étape 13.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.3.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 13.3.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot - 1 x}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$

Étape 13.3.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 13.3.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 1 x}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$

Étape 13.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 1 x}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$

Étape 13.3.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot - 1 x}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$

Étape 13.3.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$