Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{3}{1 + x}$ , $y = 0$ , $x = 0$ , $x = 3$

Étape 1

Pour déterminer le volume du solide, commencez par définir l’aire de chaque coupe, puis intégrez sur la plage. L’aire de chaque coupe est l’aire d’un cercle avec un rayon de $f (x)$ et $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{3} {(f (x))}^{2} d x$ où $f (x) = \frac{3}{1 + x}$

Étape 2

Simplifiez l’intégrande.

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Étape 2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{1 + x}$ .

$V = \frac{3^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$

Étape 2.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$V = \frac{9}{{(1 + x)}^{2}}$

Étape 3

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , placez $9$ en dehors de l’intégrale.

$V = π (9 \int_{0}^{3} \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x)$

Étape 4

Déplacez $9$ à gauche de $π$ .

$V = 9 π \int_{0}^{3} \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

Étape 5

Laissez $u = 1 + x$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = 1 + x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Étape 5.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 1$

Étape 5.1.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$

Étape 5.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 1 + x$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Étape 5.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 5.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 1 + x$ .

$u_{upper} = 1 + 3$

Étape 5.5

Additionnez $1$ et $3$ .

$u_{upper} = 4$

Étape 5.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

Étape 5.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$V = 9 π \int_{1}^{4} \frac{1}{u^{2}} d u$

Étape 6

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 6.1

Retirez $u^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$V = 9 π \int_{1}^{4} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Étape 6.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 6.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 9 π \int_{1}^{4} u^{2 \cdot - 1} d u$

Étape 6.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$V = 9 π \int_{1}^{4} u^{- 2} d u$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 2}$ par rapport à $u$ est $- u^{- 1}$ .

$V = 9 π - u^{- 1}]_{1}^{4}$

Étape 8

Remplacez et simplifiez.

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Étape 8.1

Évaluez $- u^{- 1}$ sur $4$ et sur $1$ .

$V = 9 π ((- 4^{- 1}) + 1^{- 1})$

Étape 8.2

Simplifiez

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Étape 8.2.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$V = 9 π (- \frac{1}{4} + 1^{- 1})$

Étape 8.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$V = 9 π (- \frac{1}{4} + 1)$

Étape 8.2.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$V = 9 π (- \frac{1}{4} + \frac{4}{4})$

Étape 8.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$V = 9 π (\frac{- 1 + 4}{4})$

Étape 8.2.5

Additionnez $- 1$ et $4$ .

$V = 9 π (\frac{3}{4})$

Étape 8.2.6

Associez $\frac{3}{4}$ et $9$ .

$V = \frac{3 \cdot 9}{4} \cdot π$

Étape 8.2.7

Multipliez $3$ par $9$ .

$V = \frac{27}{4} \cdot π$

Étape 8.2.8

Associez $\frac{27}{4}$ et $π$ .

$V = \frac{27 π}{4}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$V = \frac{27 π}{4}$

Forme décimale :

$V = 21.20575041 \dots$

Étape 10