Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{3} \frac{3}{2} \sqrt{x + 1} d x$

Étape 1

Comme $\frac{3}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{3}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{3}{2} \int_{0}^{3} \sqrt{x + 1} d x$

Étape 2

Laissez $u = x + 1$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = x + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x + 1$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Étape 2.3

Additionnez $0$ et $1$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 2.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x + 1$ .

$u_{upper} = 3 + 1$

Étape 2.5

Additionnez $3$ et $1$ .

$u_{upper} = 4$

Étape 2.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

Étape 2.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\frac{3}{2} \int_{1}^{4} \sqrt{u} d u$

Étape 3

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2} \int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{3}{2} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}$

Étape 5

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.1

Évaluez $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ sur $4$ et sur $1$ .

$\frac{3}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Étape 5.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Étape 5.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Étape 5.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} \cdot 2^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Étape 5.2.4

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Étape 5.2.5

Associez $\frac{2}{3}$ et $8$ .

$\frac{3}{2} (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Étape 5.2.6

Multipliez $2$ par $8$ .

$\frac{3}{2} (\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Étape 5.2.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{3}{2} (\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1)$

Étape 5.2.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{3}{2} (\frac{16}{3} - \frac{2}{3})$

Étape 5.2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{16 - 2}{3}$

Étape 5.2.10

Soustrayez $2$ de $16$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{14}{3}$

Étape 5.2.11

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{14}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 14}{2 \cdot 3}$

Étape 5.2.12

Multipliez $3$ par $14$ .

$\frac{42}{2 \cdot 3}$

Étape 5.2.13

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{42}{6}$

Étape 5.2.14

Annulez le facteur commun à $42$ et $6$ .

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Étape 5.2.14.1

Factorisez $6$ à partir de $42$ .

$\frac{6 \cdot 7}{6}$

Étape 5.2.14.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.14.2.1

Factorisez $6$ à partir de $6$ .

$\frac{6 \cdot 7}{6 (1)}$

Étape 5.2.14.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 \cdot 7}{6 \cdot 1}$

Étape 5.2.14.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{7}{1}$

Étape 5.2.14.2.4

Divisez $7$ par $1$ .

$7$

Étape 6