Calcul infinitésimal Exemples

$2 \sin^{2} (\frac{x}{2})$

Étape 1

Écrivez $2 \sin^{2} (\frac{x}{2})$ comme une fonction.

$f (x) = 2 \sin^{2} (\frac{x}{2})$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int 2 \sin^{2} (\frac{x}{2}) d x$

Étape 4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int \sin^{2} (\frac{x}{2}) d x$

Étape 5

Laissez $u_{1} = \frac{x}{2}$ . Alors $d u_{1} = \frac{1}{2} d x$ , donc $2 d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 5.1

Laissez $u_{1} = \frac{x}{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Étape 5.1.2

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Étape 5.1.4

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$2 \int \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{1}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \sin^{2} (u_{1}) (1 \cdot 2) d u_{1}$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 \int \sin^{2} (u_{1}) \cdot 2 d u_{1}$

Étape 6.3

Déplacez $2$ à gauche de $\sin^{2} (u_{1})$ .

$2 \int 2 \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Étape 7

Comme $2$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 (2 \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Étape 8

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Étape 9

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\sin^{2} (u_{1})$ en $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$4 \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Étape 10

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$4 (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$\frac{4}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Étape 11.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 11.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Étape 11.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Étape 11.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Étape 11.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{1} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Étape 11.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$2 \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Étape 12

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$2 (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Étape 13

Appliquez la règle de la constante.

$2 (u_{1} + C + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Étape 14

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$2 (u_{1} + C - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Étape 15

Laissez $u_{2} = 2 u_{1}$ . Alors $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 15.1

Laissez $u_{2} = 2 u_{1}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 15.1.1

Différenciez $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Étape 15.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $2 u_{1}$ par rapport à $u_{1}$ est $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Étape 15.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 15.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 15.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$2 (u_{1} + C - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Étape 16

Associez $\cos (u_{2})$ et $\frac{1}{2}$ .

$2 (u_{1} + C - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Étape 17

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$2 (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Étape 18

L’intégrale de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sin (u_{2})$ .

$2 (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Étape 19

Simplifiez

$2 (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Étape 20

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 20.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\frac{x}{2}$ .

$2 (\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Étape 20.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 u_{1}$ .

$2 (\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

Étape 20.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\frac{x}{2}$ .

$2 (\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (2 \frac{x}{2})) + C$

Étape 21

Simplifiez

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Étape 21.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 21.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 21.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (2 \frac{x}{2})) + C$

Étape 21.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$2 (\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (x)) + C$

Étape 21.1.2

Associez $\sin (x)$ et $\frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{x}{2} - \frac{\sin (x)}{2}) + C$

Étape 21.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 \frac{x}{2} + 2 (- \frac{\sin (x)}{2}) + C$

Étape 21.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 21.3.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{x}{2} + 2 (- \frac{\sin (x)}{2}) + C$

Étape 21.3.2

Réécrivez l’expression.

$x + 2 (- \frac{\sin (x)}{2}) + C$

Étape 21.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 21.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sin (x)}{2}$ dans le numérateur.

$x + 2 \frac{- \sin (x)}{2} + C$

Étape 21.4.2

Annulez le facteur commun.

$x + 2 \frac{- \sin (x)}{2} + C$

Étape 21.4.3

Réécrivez l’expression.

$x - \sin (x) + C$

Étape 22

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = 2 \sin^{2} (\frac{x}{2})$ .

$F (x) =$ $x - \sin (x) + C$